Ква́нтовый разме́рный эффе́кт ( квантово-размерный эффект , КРЭ ) — размерный эффект , изменение термодинамических и кинетических свойств кристалла, когда хотя бы один из его геометрических размеров становится соизмеримым с длиной волны де Бройля электронов. Этот эффект связан с квантованием энергии носителей заряда, движение которых ограничено в одном, двух или трёх направлениях.

При ограничении бесконечного кристалла потенциальными барьерами или при создании границ возникают дискретные уровни квантования . Дискретный спектр возникает в любом ограниченном потенциальными стенками объёме, но практически наблюдается только при достаточно малом размере тела, поскольку эффекты декогеренции приводят к уширению энергетических уровней и, поэтому энергетический спектр воспринимается как непрерывный . Наблюдение квантового размерного эффекта возможно только, если хотя бы один из размеров кристалла достаточно мал.

История открытия

Физическая основа существования квантового размерного эффекта — квантование энергии ограниченного движения частицы в потенциальной яме . Простейшей, точно решаемой моделью, является модель прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными стенками . Дискретные уровни энергии частицы

${\displaystyle E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}}$

находятся из решения уравнения Шрёдингера и зависят от ширины ямы L ( m — масса частицы, n =1,2,3…). Движение электронов проводимости в кристалле ограничено поверхностью образца которая, в силу большой величины работы выхода , может быть аппроксимирована потенциальной ямой с бесконечными стенками. В теоретических работах И. М. Лифшиц и А. М. Косевич впервые заметили, что изменение геометрических размеров проводника приводит к изменению числа заполненных дискретных уровней ниже энергии Ферми ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ , что должно проявиться в осциллирующей зависимости термодинамических величин и кинетических коэффициентов от размеров образца или ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ ( химического потенциала ). Условиями наблюдения КРЭ являются низкие температуры эксперимента (чтобы избежать температурного уширения квантовых уровней), чистые образцы с малым рассеянием на дефектах и соизмеримость размеров кристалла с дебройлевской длиной волны носителей заряда ${\displaystyle \lambda _{D}}$ . В типичном металле ${\displaystyle \lambda _{D}}$ порядка межатомного расстояния (≤10Å) и при макроскопических размерах кристалла электронные состояния сливаются в непрерывный спектр. Поэтому впервые КРЭ был наблюден (В. Н. Луцкий, В. Б. Сандомирский, Ю. Ф. Огрин) в полупроводниках и полуметалле висмуте , в которых ${\displaystyle \lambda _{D}}$ ~100Å. Теоретическое предсказание и экспериментальное наблюдение КРЭ были внесены в Государственный реестр открытий СССР. Впоследствии КРЭ был наблюден в металлических пленках , и были обнаружены квантово-размерные осцилляции критической температуры сверхпроводимости пленок олова .

В тонких плёнках

Квантовый размерный эффект в тонких плёнках обусловлен тем, что поперечное движение электронов квантовано: проекция квазиимпульса на направление малого размера L (по оси z ) может принимать лишь дискретный набор значений: ${\displaystyle |p_{z}|=(\pi h/L)n}$ , ${\displaystyle n=1,2,3...}$ . Это соотношение справедливо для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии в прямоугольной яме с бесконечно высокими потенциальными стенками, но оно достаточно для понимания физической природы эффекта. Размерное квантование квазиимпульса приводит к преобразованию спектра и возникновению «двумерных» подзон: энергия электронов определяется непрерывными компонентами квазиимпульса, параллельными поверхности плёнки, и квантовым числом ${\displaystyle n}$ . Квазидискретный характер спектра приводит к скачкам (ступенькам для двумерного электронного газа ) в плотности состояний при значениях энергии, отвечающих минимальным энергиям в подзонах ${\displaystyle E_{n}}$ . С другой стороны, при увеличении толщины плёнки при некоторых значениях ${\displaystyle L_{n}}$ меняется число подзон в пределах фермиевской энергии ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ . Появление новых подзон происходит в окрестности точек пересечения экстремальной хорды ${\displaystyle \Delta P_{z}^{extr}}$ (Рис. ${\displaystyle a}$ ) с поверхностью Ферми. Вследствие этого термодинамические и кинетические характеристики осциллируют с периодом ${\displaystyle \Delta L=2\pi \hbar /\Delta P_{z}^{extr}}$ . В случае, когда ${\displaystyle E_{1}<\varepsilon _{F}<E_{2}}$ , заполнена лишь одна зона размерного квантования, и электронный газ становится (квази) двумерным . Полупроводниковые гетероструктуры с двумерным электронным газом широко используются в физических исследованиях и современной наноэлектронике .

Квазиклассическая теория. Общий случай

Рассмотрим металлическую пластину толщиной ${\displaystyle L}$ . При зеркальном отражении от границ электрона со сложным законом дисперсии ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)}$ , сохраняется энергия ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle {{\mathbf {p} }_{\bot }}}$ — проекция импульса на поверхность металла. Проекция импульса ${\displaystyle p_{z}}$ вдоль нормали к поверхности (ось ${\displaystyle z}$ ) до ( ${\displaystyle p_{z}^{(1)}}$ ) и после ( ${\displaystyle p_{z}^{(2)}}$ ) соударения удовлетворяют соотношению

${\displaystyle \varepsilon \left({{\mathbf {p} }_{\bot }},p_{z}^{\left(1,2\right)}\right)=\varepsilon \,.\quad \quad (1)}$

Решениям уравнения (1) ${\displaystyle p_{z}^{(1,2)}\left(\varepsilon ,{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)}$ соответствуют противоположные знаки скорости электрона ${\displaystyle v_{z}^{(1,2)}}$ . Уравнение (1) может иметь больше двух корней. В этом случае корни должны быть разделены на пары таким образом, чтобы при переходе от ${\displaystyle p_{z}^{(1)}}$ к ${\displaystyle p_{z}^{(2)}}$ кинетическая энергия все время была меньше фиксированной величины ${\displaystyle \varepsilon }$ .

Возникновение размерного квантования иллюстрирует рисунок. В реальном пространстве электроны совершают движение по периодической траектории (Рис. ${\displaystyle b}$ ), состоящей из повторяющихся участков, каждый из которых состоит из двух прямолинейных частей с противоположным направлением скорости вдоль нормали к поверхностям пластины, ${\displaystyle \operatorname {sgn} \left(v_{z}^{(1)}\right)=-\operatorname {sgn} \left(v_{z}^{(2)}\right)}$ . В импульсном пространстве при каждом отражении от границы электрон совершает скачки между точками ${\displaystyle A\left(p_{z}^{(1)},{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)}$ и ${\displaystyle B\left(p_{z}^{(2)},{{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)}$ ( ${\displaystyle AB\to BA\to AB\to ...}$ ), которые связаны между собой параллельной оси ${\displaystyle p_{z}}$ хордой изоэнергетической поверхности (Рис. ${\displaystyle a}$ ). Согласно общим принципам квантовой механики такому периодическому движению соответствует дискретный энергетический спектр.

Квазиклассические уровни энергии находятся из условия квантования адиабатического инварианта

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\oint {{{p}_{z}}dz=}{\frac {1}{2\pi }}\left|p_{z}^{(1)}-p_{z}^{(2)}\right|L=n\hbar \,,\quad \quad (2)}$

где ${\displaystyle n=1,2,3...}$ . Из уравнения (2) находим

${\displaystyle \Delta {{P}_{z}}=\left|p_{z}^{(1)}-p_{z}^{(2)}\right|={\frac {2\pi n\hbar }{L}}\,.\quad \quad (3)}$

Равенство (3) следует рассматривать, как уравнение относительно энергии при фиксированном значении ${\displaystyle {{\mathbf {p} }_{\bot }}}$ , решая которое находим систему квантовых уровней ${\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}\left({{\mathbf {p} }_{\bot }}\right)}$ . Если уравнение (1) имеет несколько пар корней, то существует несколько систем уровней.

В случае сферического закона дисперсии электронов, ${\displaystyle \varepsilon ={{\mathbf {p} }^{2}}/2{{m}^{*}}}$ ( ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса), хорда изоэнергетической поверхности ${\displaystyle \Delta {{P}_{z}}=2{\sqrt {2{{m}^{*}}\varepsilon -p_{\bot }^{2}}}}$ , и квантованные значения энергии равны

${\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}\left({{p}_{\bot }}\right)={\frac {{{\pi }^{2}}{{\hbar }^{2}}{{n}^{2}}}{2{{m}^{*}}{{L}^{2}}}}+{\frac {p_{\bot }^{2}}{2{{m}^{*}}}}\,.}$

Квантовый размерный эффект в гетероструктурах

Типичным примером системы, в которой проявляется квантовый размерный эффект, может служить двойная гетероструктура AlGaAs / GaAs /AlGaAs с двумерным электронным газом , где электроны находящиеся в слое GaAs ограничены высокими потенциальными барьерами AlGaAs, то есть для электронов формируется потенциальная яма , описываемая дном зон проводимости двух материалов, малого размера (обычно порядка 10 нм) и возникают дискретные уровни, которые соответствуют движению электронов поперёк слоя GaAs, хотя продольное движение остаётся свободным. Эти уровни эффективно сдвигают зону проводимости вверх по энергии. В результате изменяется ширина запрещённой зоны GaAs и, соответственно, происходит сдвиг в синюю область края межзонного поглощения . Аналогично, но с большим изменением запрещённой зоны квантовый размерный эффект наблюдается в квантовых точках , где электрон ограничен по всем трём координатам.

Кондактанс квантового контакта

Примером проявления КРЭ является размерное квантование кондактанса (кондактанс — величина, обратная электрическому сопротивлению ) квантовых контактов (микросужений, тонких проволок и т. п., соединяющих массивные проводники), диаметр ${\displaystyle d}$ которых намного меньше длины свободного пробега носителей заряда и сравним с ${\displaystyle \lambda _{D}}$ .

В 1957 году Ландауер показал , что проводимость одномерной проволочки, подсоединенной к массивным металлическим берегам, не зависит от величины энергии Ферми ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ и при нуле температуры и малых напряжениях равна кванту кондактанса ${\displaystyle G_{0}=2e^{2}/h}$ , где ${\displaystyle e}$ — заряд электрона , ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка . Если диаметр проволочки сравним с ${\displaystyle \lambda _{D}\lesssim d}$ , энергетический спектр внутри неё дискретен за счет КРЭ, и существует конечное число квантовых уровней ${\displaystyle N}$ , с энергиями ${\displaystyle E_{n}<\varepsilon _{F}}$ ( ${\displaystyle n\leqslant N}$ ). Кондактанс ${\displaystyle G}$ при нуле температур определяется числом ${\displaystyle N}$ (или, как часто говорят, числом квантовых проводящих мод). Каждая из мод вносит вклад в ${\displaystyle G}$ , равный ${\displaystyle G_{0}}$ , так что полный кондактанс равен ${\displaystyle G=NG_{0}}$ . При фиксированном ${\displaystyle N}$ величина ${\displaystyle G}$ не зависит от диаметра проволочки. Энергии ${\displaystyle E_{n}}$ уменьшаются с увеличением диаметра ${\displaystyle d}$ . С ростом ${\displaystyle d}$ в какой-то момент новая квантовая мода становится разрешенной (пересекает уровень Ферми), дает вклад в проводимость, а кондактанс скачком увеличивается на величину ${\displaystyle G_{0}}$ .

Эффект квантования кондактанса (ступенчатая зависимость ${\displaystyle G(d)}$ с шагом, равным одному кванту ${\displaystyle G_{0}}$ ) был обнаружен в сужениях, созданных на основе двумерного электронного газа в GaAs-AlGaAs гетероструктурах . Строго говоря, квантование уровней энергии возникает лишь в пределе бесконечно длинного канала, в то время как квантование кондактанса экспериментально наблюдается в сужениях, диаметр которых существенно увеличивается при удалении от их центра. Этот эффект был объяснен в работах , в которых было показано, что если форма 2D контакта адиабатически плавно меняется в масштабе ${\displaystyle \lambda _{D}}$ , то его кондактанс квантуется, а положение ступеней на зависимости ${\displaystyle G(d)}$ определяется минимальным диаметром сужения.

Эффект квантования кондактанса наблюдается и в трехмерных металлических контактах, создаваемых с помощью сканирующего туннельного микроскопа и методом «разломных контактов» (break-junction) . Теоретические исследования показали, что если контакт обладает цилиндрической симметрией, то вследствие вырождения уровней энергии по орбитальному квантовому числу , наряду со ступенями ${\displaystyle G_{0}}$ должны возникать ступени ${\displaystyle 3G_{0}}$ , ${\displaystyle 5G_{0}}$ … .

Принцип неопределённости

Изменение энергии носителей заряда и появление размерного квантования упрощённо объясняется в квантовой механике и принципом неопределённости . Если частица ограничена в пространстве в пределах расстояния L (допустим ограничен вдоль направления z ), неопределённость z -компоненты её импульса возрастает на величину порядка ${\displaystyle \hbar /L}$ . Соответствующее увеличение кинетической энергии частицы даётся выражением ${\displaystyle \Delta E=\hbar ^{2}/2m^{*}L^{2}}$ , где ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса частицы. Кроме увеличения минимальной энергии частицы, квантовый размерный эффект приводит также к квантованию энергии её возбуждённых состояний. Энергии возбуждённых состояний для бесконечного одномерного потенциала прямоугольной ямы выражаются как ${\displaystyle E_{n}=\Delta En^{2}}$ , где n = 1, 2, 3,…

Ссылки

Литература

• Davies, John H. The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (англ.) . — 6th reprint. — Cambridge University Press , 2006. — ISBN 0-521-48491-X .
• // Пустырник — Румчерод. — М. : Большая российская энциклопедия, 2015. — С. 172—173. — ( Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 28). — ISBN 978-5-85270-365-1 .
• Комник , Ю. Ф. Физика металлических пленок : Размерные и структурные эффекты. — М. : Атомиздат, 1979. — 363 с.
• Луцкий В. Н., Пинскер Т. Н. Размерное квантование. — М., 1983.
• Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ. — М. : Мир, 1985. — 416 с.
• Демиховский В. Я., Вугальтер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. — М., 2000.

См. также

• Квантово-размерный эффект Штарка