Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы , которые широко применяются в квантовой механике , особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем . В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частиц . Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии ( вторичное квантование ). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком .

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора . В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов .

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора . Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов .

Определение

Пусть ${\displaystyle H}$ — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). ( Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством ${\displaystyle H}$ называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми * ) абстрактно порождаемая элементами ${\displaystyle a(f)}$ , где ${\displaystyle f}$ принадлежит ${\displaystyle H}$ , с учётом соотношений:

${\displaystyle [a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0}$

${\displaystyle [a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,}$

в обозначениях бра и кет .

Отображение ${\displaystyle a:f\to a(f)}$ из ${\displaystyle H}$ в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным . Сопряженный к элементу ${\displaystyle a(f)}$ является ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ , и отображение ${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$ является в H . Таким образом, ${\displaystyle H}$ используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент ${\displaystyle a(f)}$ будет реализован как оператор уничтожения, а ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ — как оператор рождения.

В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй . Алгебра ККС над ${\displaystyle H}$ тесно связана, но не идентична .

Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над ${\displaystyle H}$ строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации , а именно

${\displaystyle \{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0}$

${\displaystyle \{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .}$

КАС алгебра конечномерна только в том случае, если ${\displaystyle H}$ конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится ${\displaystyle C^{*}}$ алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей.

Физический смысл оператора ${\displaystyle a(f)}$ заключается в уничтожении частицы в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$ тогда как ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ создает частицу в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$ .

Вакуумным состоянием свободного поля является состояние ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ без частиц, характеризуемое как:

${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$

Если ${\displaystyle |f\rangle }$ отнормирован, так что ${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$ , тогда ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ дает число частиц в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$ .

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

В квантовых теориях поля и используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$ . Эти операторы изменяют собственные значения ,

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$ ,

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, ${\displaystyle i}$ ) представляют квантовые числа , которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел ${\displaystyle (n,l,m,s)}$ используется для обозначения состояний в атоме водорода .

Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

где ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ — коммутатор и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — cимвол Кронекера .

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}$ ,

${\displaystyle \{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.}$

Следовательно, обмен непересекающимися (то есть ${\displaystyle i\neq j}$ ) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.

Если состояния, обозначенные i , являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы , соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.

См. также

• Пространство Фока
• Преобразование Боголюбова
• Преобразование Гольштейна — Примакова
• Каноническое коммутационное соотношение

Примечания

Литература

• Р. Фейнман . Статистическая механика. — М. : Мир, 1975. — 407 с.
• Н. Н. Боголюбов , Д. В. Ширков . Введение в теорию квантованных полей. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 441 с.