Квантова́ние Дира́ка — эвристический аргумент, предложенный П. Дираком и показывающий, что однозначность предсказаний квантовой механики с электрическими зарядами может быть сохранена в теории, включающей магнитные монополи , лишь при условии совместного квантования магнитного и электрического зарядов.

Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополя

Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано 4-векторным потенциалом А _μ , если допустить существование скачка A _μ на некоторой (произвольной) поверхности S , проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части . При этом напряжённость магнитного поля непрерывна на поверхности S всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований . Циркуляция скачка A по любому контуру, лежащему на S и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку , исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса ) его магнитному заряду g . Контурный интеграл от 4-вектора A даёт вклад в фазу φ волновой функции пробной частицы с электрическим зарядом e , и скачок φ , соответствующий скачку А _μ на поверхности S , равен ${\displaystyle \Delta \varphi =eg/\hbar c.}$ При выполнении условия Дирака ${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi n,}$ так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок А _μ не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона , поэтому поверхность S ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна» или «нить» Дирака).

Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене ${\displaystyle l(l+1)}$ на ${\displaystyle l(l+1)-1/4n^{2}}$ ( n — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера , при этом орбитальный угловой момент ${\displaystyle l}$ может принимать значения

${\displaystyle l_{n}={\frac {1}{2}}|n|;{\frac {1}{2}}|n|+1;{\frac {1}{2}}|n|+2;...}$

${\displaystyle l_{1}=1/2;3/2;5/2;...}$ при ${\displaystyle n=1,}$

${\displaystyle l_{2}=1;2;3;...}$ при ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle l_{3}=3/2;5/2;7/2;...}$ при ${\displaystyle n=3,}$

${\displaystyle l_{4}=2;3;4;...}$ при ${\displaystyle n=4.}$

Заметим, что при нечётном n система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом . Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными электрическими и магнитными зарядами образуется дион (частица, несущая одновременно электрический и магнитный заряды), подчиняющийся статистике Ферми — Дирака , т.е. фермион . Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.

Примечания