Уравнение Орра — Зоммерфельда — уравнение гидродинамической задачи на собственные значения , описывающее устойчивость плоскопараллельного потока вязкой несжимаемой жидкости с произвольными граничными условиями и профилем скорости. Является одним из основных уравнений теории гидродинамической устойчивости .

Уравнение впервые опубликовано в работах Уильяма Макфаддена Орра и Арнольда Зоммерфельда в 1907—1908 годы.

Формулировка задачи

Уравнение Орра — Зоммерфельда получается из уравнений Навье — Стокса для малых возмущений стационарного течения. Предполагая, что скорость течения может быть представлена в виде

${\displaystyle {\vec {v}}=U(z){\vec {e}}_{x}+{\vec {v}}'(x,z),}$

где ${\displaystyle U(z)}$ — профиль стационарного течения, можно перейти к линеаризованным уравнениям Навье-Стокса для возмущений, которые допускают решения в виде бегущих волн ${\displaystyle {\vec {v}}'\sim \exp(ik(x-ct))}$ , где ${\displaystyle k}$ — волновое число возмущений вдоль оси ${\displaystyle x}$ , а ${\displaystyle c}$ — скорость их распространения.

Последовательно исключая из уравнений давление и горизонтальную компоненту скорости возмущений непосредственно или путём перехода к функции тока , можно привести систему к одному уравнению для вертикальной компоненты, потенциала скорости или функции тока, независимо от выбранных преобразований:

${\displaystyle (U-c)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}-k^{2}\varphi \right)-{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{ik\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}+k^{4}\varphi \right),}$

где ${\displaystyle \mathrm {Re} }$ — безразмерное число Рейнольдса .

При записи возмущений в виде ${\displaystyle {\vec {v}}'\sim \exp(ikx+\lambda t)}$ , где ${\displaystyle \lambda }$ — инкремент (скорость роста) возмущений, можно получить несколько иной вид уравнения:

${\displaystyle (\lambda +ikU)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}-k^{2}\varphi \right)-ik{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}+k^{4}\varphi \right).}$

Уравнение дополняется граничными условиями для возмущений, соответствующими задаче. Например, для течения в канале с двумя твёрдыми стенками, на них будет выполняться

${\displaystyle \varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0,}$

в случае, если понимать под ${\displaystyle \varphi }$ вертикальную компоненту скорости возмущений или потенциал поля скорости, или же

${\displaystyle \varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,}$

если ${\displaystyle \varphi }$ — функция тока.

Собственным числом полученной краевой задачи является скорость распространения возмущений ${\displaystyle c}$ , которая зависит от волнового числа и числа Рейнольдса. В общем случае, она является комплексным числом , и если мнимая часть скорости оказывается положительной, это приводит к экспоненциальному росту возмущений во времени и, соответственно, потере устойчивости стационарного течения и переходу от ламинарного течения к турбулентному .

Решения уравнения

В общем случае, даже для самых простых профилей скорости, таких, как течение Пуазёйля , данное уравнение не может быть решено аналитически. Точное решение может быть получено только для течения Куэтта (см. ниже). Для произвольных течений применяются асимптотические методы, спектральные методы ( , метод Галёркина и др.), специализированные алгоритмы численного решения краевых задач, такие как метод стрельбы или , или прямое численное моделирование развития неустойчивости течения.

Анализ устойчивости течения Куэтта

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

См. также

• Течение Куэтта
• Теорема Рэлея о точке перегиба

Литература

• Orr, W. M’F. (1907). «The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part I». Proceedings of the Royal Irish Academy. A 27: 9-68
• Orr, W. M’F. (1907). «The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part II». Proceedings of the Royal Irish Academy. A 27: 69-138
• Sommerfeld, A. (1908). «Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen». Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians III. Rome. pp. 116—124
• Линь Цзя-Цзяо . Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.