Комбинато́рика — раздел математики , посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого (чаще всего конечного) множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет некоторую выборку из элементов исходного множества, которая называется комбинаторной конфигурацией . Простейшими примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки , сочетания и размещения .

Типичные задачи комбинаторики :

• определить количество комбинаторных конфигураций, соответствующих заданным правилам (в частности, доказать или опровергнуть их существование);
• найти практически пригодный алгоритм их полного построения;
• определить свойства заданного класса комбинаторных конфигураций.

Комбинаторика тесно связана со многими другими областями математики — алгеброй , геометрией , теорией вероятностей , теорией чисел и другими . Она применяется в самых различных областях знаний, например, в генетике , информатике , статистике , статистической физике , лингвистике , музыке .

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход в 1666 году Лейбницем в труде «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций . Примерами комбинаторных конфигураций являются:

• Размещением из ${\displaystyle n}$ элементов по ${\displaystyle k}$ называется упорядоченный набор из ${\displaystyle k}$ различных элементов некоторого ${\displaystyle n}$ -элементного множества.
• Перестановкой из ${\displaystyle n}$ элементов (например чисел 1, 2, … ${\displaystyle n}$ ) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из ${\displaystyle n}$ элементов по ${\displaystyle n}$ .
• Сочетанием из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$ называется набор ${\displaystyle k}$ элементов, выбранных из данных ${\displaystyle n}$ элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
• Композицией числа ${\displaystyle n}$ называется всякое представление ${\displaystyle n}$ в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
• Разбиением числа ${\displaystyle n}$ называется всякое представление ${\displaystyle n}$ в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примеры комбинаторных задач:

1. Сколько имеется способов разместить ${\displaystyle n}$ предметов по ${\displaystyle m}$ ящикам, чтобы выполнялись заданные ограничения?
2. Сколько существует функций ${\displaystyle F}$ из ${\displaystyle m}$ -элементного множества в ${\displaystyle n}$ -элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?
3. Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?

   Ответ: 52! (52 факториал ), то есть 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000,

или примерно ${\displaystyle 8{,}0658\cdot 10^{67}.}$

4. При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, в которых сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?

   Решение: Каждый возможный исход соответствует функции ${\displaystyle F:\{1,2\}\to \{1,2,3,4,5,6\}}$ (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6 + 6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом, существует всего одна комбинация, при которой сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

История

Древность и средние века

Основные комбинаторные понятия и вычислительные результаты появились в древнем мире . Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь ${\displaystyle m}$ элементов из ${\displaystyle N}$ возможных» упоминается ещё в сутрах древней Индии (начиная примерно с IV века до н. э.) . Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона . Во II веке до н. э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени ${\displaystyle n}$ равна ${\displaystyle 2^{n}}$ .

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской « Книги Перемен » (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал , а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо . Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты .

Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Хрисипп ( III век до н. э. ) и Гиппарх ( II век до н. э. ) подсчитывали, сколько следствий можно получить из 10 аксиом ; методика подсчёта нам неизвестна, но у Хрисиппа получилось более миллиона, а у Гиппарха — более 100000 . Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов . Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах . Какие-то комбинаторные правила пифагорейцы , вероятно, использовали при построении своей теории чисел и нумерологии ( совершенные числа , фигурные числа , пифагоровы тройки и др.).

В Средние века комбинаторика также продолжала развиваться, в основном, за пределами европейской цивилизации . В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями. Другой индийский математик, (середина IX века), опубликовал формулы для числа перестановок и сочетаний , причём эти формулы, возможно, были знакомы индийским математикам ещё в VI веке н. э. Философ и астроном рабби Авраам ибн Эзра (около 1140 года) подсчитал число размещений с перестановками в огласовках имени Бога . Он же установил симметрию биномиальных коэффициентов . Точную формулу для них обнародовал позже талмудист и математик Леви бен Гершом (более известный как Герсонид) в 1321 году.

Несколько комбинаторных задач содержит « Книга абака » ( Фибоначчи , XIII век). Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов.

Новое время

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: « треугольник Паскаля ». Позднее выяснилось, что этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века) и он назывался арифметическим треугольником . Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Арифметический треугольник представляет собой графическую диаграмму, показывающую отношения между биномиальными коэффициентами. Позже, в средневековой Англии, предоставила примеры того, что теперь известно как гамильтоновы циклы в графах Кэли на перестановках.

В эпоху Возрождения , наряду с прочими науками, комбинаторика начала стремительное развитие. Джероламо Кардано написал проницательное математическое исследование игры в кости , опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Никколо Тарталья и Галилео Галилей . История теории вероятностей началась с переписки заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем , где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц , он считается основоположником современной комбинаторики. В 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику . Ученик Лейбница Якоб Бернулли , один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин « сочетание » ( combination ) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин « перестановка » ( permutation ) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин « размещение » ( arrangement ).

После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала .

Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера . Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы:

• задача о ходе коня ;
• задача о семи мостах , с которой началась теория графов ;
• построение греко-латинских квадратов ;
• обобщённые перестановки .

Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения , а также сочетания и размещения с условиями.

Современное состояние

Работы Паскаля , Ньютона , Якоба Бернулли и Эйлера стали фундаментальными в развитии этой области. В наше время работы Дж. Дж. Сильвестра (конец XIX века) и (начало XX века) помогли заложить основы перечислительной и алгебраической комбинаторики . Теория графов также вызывала растущий интерес, особенно в связи с теоремой о четырёх красках и задачами экономики.

Во второй половине XX века комбинаторика пережила новый бурный рост, что было связано с быстрым раз­ви­ти­ем дис­крет­ной ма­те­ма­ти­ки, ин­фор­ма­ти­ки , ки­бер­не­ти­ки и пла­ни­ро­ва­ния экс­пе­ри­мен­та . Частично этот рост был стимулирован обнаруженными связями и приложениями в других областях математики — в алгебре, теорией вероятностей, функциональном анализе , теории чисел и т. д. Эти связи стирают границы между комбинаторикой и другими областями математики, но в то же время приводят к определённой фрагментации комбинаторики.

В начале XX века началось развитие комбинаторной геометрии : были доказаны теоремы Радона , Хелли , Юнга , Бляшке , а также строго доказана изопериметрическая теорема . На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука — Улама и . Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера . В 1940-х годах оформилась теория Рамсея . Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш , который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры . Сейчас это содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

Методы и разделы комбинаторики

Перечислительная комбинаторика

Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика ) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок ) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения .

Числа Фибоначчи являются типичным примером задачи в перечислительной комбинаторике, а также известная Задача о письмах . Двенадцатеричный путь обеспечивает единую структуру для подсчета перестановок , сочетаний и разбиений .

Аналитическая комбинаторика

Аналитическая комбинаторика относится к перечислению комбинаторных структур с использованием инструментов из комплексного анализа и теории вероятностей . В отличие от перечислительной комбинаторики, которая использует явные комбинаторные формулы и производящие функции последовательности для описания результатов, аналитическая комбинаторика нацелена на получение асимптотических формул .

Теория разбиения

Теория разбиения изучает различные перечислительные и асимптотические задачи, связанные с разбиением натуральных чисел , и тесно связана с q-рядами , специальными функциями и ортогональными многочленами . Первоначально она была частью теории чисел и анализа , а теперь рассматривается как часть комбинаторики или самостоятельная область. Она включает в себя биективный подход , различные инструменты анализа и аналитической теории чисел , имеет также связи со статистической механикой .

Теория графов

Графы являются фундаментальными объектами в комбинаторике. Теория графов рассматривает перечисления (например, число ${\displaystyle n}$ вершин с ${\displaystyle k}$ рёбрами графа), существующие структуры (например, гамильтоновы циклы), алгебраические представления (например, имеет ли комбинаторное представление многочлен Татта ${\displaystyle T_{G}(x,y)}$ для заданных графа ${\displaystyle G}$ и двух чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ ?). Хотя между теорией графов и комбинаторикой существуют очень сильные связи, они иногда рассматриваются как отдельные предметы. В то же время комбинаторные методы применимы ко многим задачам теории графов, эти две дисциплины обычно используются для поиска решений различных типов задач.

Теория схем

Теория схем — это исследование комбинаторных схем , которые представляют собой наборы подмножеств с определёнными свойствами пересечения . Блок схемы — это комбинаторные схемы особого типа. Эта область является одной из старейших частей комбинаторики, например, предложенная в 1850 году задача Киркмана о школьницах . Решение задачи является частным случаем системы Штейнера , системы которой играют важную роль в классификации простых конечных групп . Эта область имеет дальнейшие связи с теорией кодирования и геометрической комбинаторикой.

Конечная геометрия

Конечная геометрия изучает геометрические системы с конечным числом точек. Структуры аналогичны тем, которые встречаются в непрерывной геометрии ( евклидово или проективное пространство), но определены комбинаторно. Эта область является богатым источником примеров для теории схем .

Теория порядка

Теория порядка — это изучение частично упорядоченных множеств , как конечных, так и бесконечных. Различные примеры частичных порядков встречаются в алгебре , геометрии, теории чисел и во всей комбинаторике, и теории графов. Известные классы и примеры частичных порядков включают решетки и булевы алгебры .

Теория матроидов

Теория матроидов абстрагирует часть геометрии . Она изучает свойства множеств (обычно конечных множеств) векторов в векторном пространстве, которые не зависят от конкретных коэффициентов в линейно зависимом отношении. Не только структура, но и перечислительные свойства принадлежат теории матроидов. Теория матроидов была введена Хасслером Уитни и изучалась как часть теории порядка. В настоящее время это самостоятельная область исследований, имеющая ряд связей с другими разделами комбинаторики.

Экстремальная комбинаторика

Экстремальная комбинаторика изучает экстремальные вопросы о системах множеств . Типы вопросов, рассматриваемых в этом случае, относятся к самому большому возможному графу, который удовлетворяет определённым свойствам. Например, самый большой граф без треугольников на ${\displaystyle 2n}$ вершинах — это полный двудольный граф ${\displaystyle K_{n,n}}$ . Часто бывает слишком трудно даже точно найти экстремальный ответ ^{[ уточнить ]} ${\displaystyle f(n)}$ и можно дать только асимптотическую оценку .

Теория Рамсея

Теория Рамсея — это ещё одна часть экстремальной комбинаторики. Она утверждает, что любая достаточно большая конфигурация будет содержать некоторый порядок и изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Это расширенное обобщение принципа Дирихле («принцип голубей и ящиков»). Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:

в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.

В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:

в любом графе с 6 вершинами найдётся либо клика , либо независимое множество размера 3.

Вероятностная комбинаторика

Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства для случайного дискретного объекта, такого как случайный граф ? Например, каково среднее число треугольников в случайном графе? Вероятностные методы также используются для определения существования комбинаторных объектов с определёнными заданными свойствами (для которых явные примеры может быть трудно найти), просто наблюдая, что вероятность случайного выбора объекта с этими свойствами больше 0 . Этот подход (часто называемый вероятностным методом ) доказал свою высокую эффективность в приложениях экстремальной комбинаторики и теории графов. Тесно связанной областью является изучение конечных цепей Маркова , особенно на комбинаторных объектах. Здесь снова используются вероятностные инструменты для оценки .

Часто ассоциируемая с Палом Эрдёшем , который сделал новаторскую работу по этому предмету, вероятностная комбинаторика традиционно рассматривалась как набор инструментов для изучения задач в других частях комбинаторики. Однако с ростом приложений для анализа алгоритмов в информатике , а также классической теории вероятностей, аддитивной теории чисел и , эта область в последнее время выросла и стала самостоятельной областью комбинаторики.

Алгебраическая комбинаторика

Алгебраическая комбинаторика — это область математики , которая использует методы абстрактной алгебры , в частности теорию групп и теорию представлений , в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяет комбинаторные методы к задачам алгебры . Алгебраическая комбинаторика постоянно расширяет свой охват, как в тематических направлениях, так и в методах и может рассматриваться как область математики, где взаимодействие комбинаторных и алгебраических методов особенно сильно и существенно.

Комбинаторика слов

Комбинаторика слов имеет дело с формальными языками . Она возникла самостоятельно в нескольких областях математики, в том числе в теории чисел , теории групп и теории вероятности . Она имеет приложения в перечислительной комбинаторике, , теоретической информатике , теории автоматов и лингвистике. Хотя многие приложения являются новыми, классическая иерархия Хомского классов формальных грамматик является, пожалуй, самым известным результатом в этой области.

Комбинаторная геометрия

Геометрическая комбинаторика связана с выпуклой и дискретной геометрией , в частности с комбинаторикой многогранников . Например, она спрашивает, сколько граней каждого измерения может иметь выпуклый многогранник . Важную роль играют также метрические свойства многогранников, например, теорема Коши о жёсткости выпуклых многогранников. Рассматриваются также особые многогранники, такие как перестановочные многогранники , и многогранники Биркгофа . Комбинаторная геометрия — это старомодное название дискретной геометрии.

Топологическая комбинаторика

Топологическая комбинаторика применяет идеи и методы комбинаторики в топологии , при изучении раскрасок графа , справедливого дележа , разбиения , дерева принятия решений , частично упорядоченных множеств , задачи о восстановлении бус и . Её не следует путать с комбинаторной топологией , которая является более старым названием алгебраической топологии .

Арифметическая комбинаторика

Арифметическая комбинаторика возникла из взаимодействия между теорией чисел , комбинаторикой, эргодической теории и гармоническим анализом . Она о комбинаторных оценках, связанных с арифметическими операциями (сложение, вычитание, умножение и деление). Аддитивная теория чисел (иногда также называемая аддитивной комбинаторикой) относится к частному случаю, когда задействованы только операции сложения и вычитания. Одним из важных методов арифметической комбинаторики является эргодическая теория динамических систем .

Инфинитарная комбинаторика

— применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным ) множествам. Это часть теории множеств , область математической логики , но использует инструменты и идеи как теории множеств, так и экстремальной комбинаторики.

использовал название непрерывной комбинаторики для описания , поскольку существует много аналогий между подсчетом и мерой.

Связанные области

Комбинаторная оптимизация

Комбинаторная оптимизация — это исследование оптимизации дискретных и комбинаторных объектов. Она начиналась как часть комбинаторики и теории графов, но теперь рассматривается как раздел прикладной математики и информатики, связанный с исследованием операций , теорией алгоритмов и теорией сложности вычислений .

Теория кодирования

Теория кодирования началась как часть теории схем с ранними комбинаторными конструкциями кодов, исправляющих ошибки . Основная идея предмета заключается в разработке эффективных и надежных методов передачи данных. Сейчас это большая область исследований, часть теории информации .

Дискретная и вычислительная геометрия

Дискретная геометрия (также называемая комбинаторной геометрией) также началась как часть комбинаторики, с ранними результатами выпуклых многогранников и контактных чисел . С появлением приложений дискретной геометрии в вычислительной геометрии , эти две области частично слились и стали отдельной областью изучения. Остается много связей с геометрической и топологической комбинаторикой, которые сами по себе можно рассматривать как порождения ранней дискретной геометрии.

Комбинаторика и динамические системы

Комбинаторные аспекты динамических систем — это ещё одна развивающаяся область. Здесь динамические системы могут быть определены комбинаторными объектами. См., например, .

Комбинаторика и физика

Между комбинаторикой и физикой, в частности статистической физикой , усиливается взаимосвязь. Примеры включают точное решение модели Изинга и связь между с одной стороны, и хроматическими многочленами и многочленами Татте , с другой стороны.

Открытые проблемы

Комбинаторика (в частности, теория Рамсея) содержит много известных открытых проблем , подчас с весьма несложной формулировкой. Например, неизвестно, при каком наименьшем ${\displaystyle N}$ в любой группе из ${\displaystyle N}$ человек найдутся 5 человек, либо попарно знакомых друг с другом, либо попарно незнакомых (хотя известно, что 49 человек достаточно) .

Также есть и другие нерешённые задачи и недоказанные гипотезы:

• Гипотеза Адамара (1893): для каждого натурального ${\displaystyle n}$ , делящегося на 4, существует вещественная матрица Адамара порядка ${\displaystyle n}$ . Пояснение: известно, что делимость на 4 является лишь необходимым условием существования матрицы Адамара. Существуют различные методы построения вещественных матриц Адамара порядка ${\displaystyle n=4k}$ для некоторых бесконечных серий натуральных чисел, делящихся на 4, однако они не позволяют доказать гипотезу Адамара. Наименьшим порядком, кратным 4, для которого матрица Адамара неизвестна, является ${\displaystyle n=668}$ .
• Существование конечной проективной плоскости натурального порядка, не являющегося степенью простого числа.
• Гипотеза Эрдёша — Реньи. Если ${\displaystyle k}$ — фиксированное целое число ${\displaystyle k\geqslant 3}$ , то ${\displaystyle \lim \;\inf(per(A))^{\frac {1}{n}}>1}$ для ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle \Lambda _{n}^{k}}$ . Здесь ${\displaystyle per(A)}$ — перманент матрицы ${\displaystyle A,\Lambda _{n}^{k}}$ — множество всех ${\displaystyle (0,1)}$ — матриц порядка ${\displaystyle n}$ c ${\displaystyle k}$ единицами в каждой строке и каждом столбце .
• Числа Рамсея ${\displaystyle N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)}$ для случая ${\displaystyle t>2}$ почти не изучены .
• Задача нахождения минимума перманента дважды стохастической матрицы в общем случае не решена .
• Не известны необходимые и достаточные условия, при которых существует общая трансверсаль для трёх семейств подмножеств .

Комбинаторика в языкознании

Комбинаторика (языкознание) — это свойство единиц языка и соответствующих им единиц речи вступать в синтагматические отношения, то есть в отношения сочетаемости.

Примечания

Литература

• Андерсон, Джеймс. Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М. : , 2006. — 960 с. — ISBN 0-13-086998-8 .
• Виленкин Н. Я. . — М. : Наука, 1975.
• Вялый М. Н. . М.: МЦНМО, 2003. 32 с.
• Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c.
• Леонтьев В. К. Избранные задачи комбинаторного анализа. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. — 179, [3] с.; 20 см; ISBN 5-7038-1862-1
• Леонтьев В. К. Комбинаторика и информация : учеб. пос. … по направлению … «Прикладные математика и физика». — Москва : МФТИ, 2015. — 21 см; ISBN 978-5-7417-0518-6
• Леонтьев В. К., Гордеев Э. Н. . М.: МФТИ, 2019.
• Липский В. Комбинаторика для программиста. — М. : Мир, 1988. — 213 с.
• Райгородский А. М. . — Летняя школа «Современная математика» . — Дубна, 2006.
• Райзер Г. Дж. Комбинаторная математика. — пер. с англ. — М. , 1966.
• Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М. : Мир, 1980. — 476 с.
• Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — пер. с англ. — М. , 1963.
• Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М. : МГУ, 1972. — С. 96. — 308 с.
• Стенли Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М. : «Мир» , 1990. — 440 с. — ISBN 5-03-001348-2 .
• Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. — М. : «Мир» , 2009. — 767 с. — ISBN 978-5-03-003476-8 .

Ссылки

• Белешко Д . . 2004.
• / Сачков В. Н. // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Для улучшения этой статьи желательно : Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . Проверить достоверность указанной в статье информации. На странице обсуждения должны быть пояснения. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.