Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представлении .

Обычно обозначаются буквой ${\displaystyle \chi }$ .

Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров .

Определение

Если ${\displaystyle f}$ — конечномерное представление группы ${\displaystyle G}$ , то характер этого представления — это функция из ${\displaystyle G}$ во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу ${\displaystyle G}$ . Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.

Свойства

• Характеры эквивалентных представлений совпадают .
• Изоморфные представления имеют одинаковые характеры .
• Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций .
• Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице .
• Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаются .
• Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентны .
• Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицы .
• У взаимно-сопряжённых элементов группы ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b^{-1}ab}$ характеры равны .
• Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементов .
• Для любого элемента группы ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \chi (a^{-1})={\overline {\chi (a)}}}$ .
• Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен ${\displaystyle 1}$ .

Примечания

Литература

• Теория групп и её применение в физике. — М. : Наука, 1958. — 354 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 200 с.
• Линейная алгебра и некоторые её приложения. — М. : Наука, 1975. — 407 с.