Орбифолд , или орбиобра́зие , — неформально говоря, это многообразие с особенностями , которые выглядят как фактор евклидова пространства по конечной группе.

Один из объектов исследования в алгебраической топологии , алгебраической и дифференциальной геометрии, теории особенностей .

Орбифолд и многообразие (сравнение определений)

Орбифолд определяется как хаусдорфово топологическое пространство ${\displaystyle X}$ (называемое подлежащим пространством орбиобразия) и выделенный набор открытых отображений ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\subset \mathbb {R} ^{n}\to X}$ (называемый атласом ), такой, что образы ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(U_{\alpha })}$ образуют покрытие пространства ${\displaystyle X}$ .

Атлас должен удовлетворять некоторому набору свойств, который мы описываем неформально.

В отличие от многообразия, карты не являются гомеоморфизмами, но для каждой карты ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ имеется конечная группа ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }}$ , действующая на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и переводящая ${\displaystyle U}$ в себя. Также для орбифолдов между картами существуют гомеоморфизмы сличения, но, в отличие от многообразий, они не единственны и переводятся друг в друга под действием соответствующих групп.

Замечание

• Риманово орбиобразие можно определить очень коротко, а именно как пространство локально изометрическое фактору риманова многообразия по конечной группе изометрий . На основе этого определения можно построить определение орбиобразия без метрики.

Примеры

• Пара многообразие ${\displaystyle M}$ с действием дискретной группы диффеоморфизмов ${\displaystyle \Gamma }$ задаёт орбифолд с подлежащим пространством ${\displaystyle M/\Gamma }$ .
  • Такие орбифолды называются хорошими , в случае если такого представления не существует, то орбифолд называется плохим .
• Примеры орбифолдов с двумерной сферой ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}={\hat {\mathbb {C} }}}$ как подлежащие пространство можно получить задав две карты ${\displaystyle f,\;g\colon \mathbb {C} \to {\hat {\mathbb {C} }}}$ , ${\displaystyle f(z)=z^{m}}$ и ${\displaystyle g(z)=1/z^{n}}$ для натуральных чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ .
  • Этот орбифолд является хорошим тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n=m}$ .

История

Впервые орбифолды были рассмотрены , который назвал их V -многообразиями. Термин «орбифолд» ( англ. orbifold ) был введён позже Тёрстоном .

Оба определяли орбифолд как фактор многообразия по действию группы (в современной терминологии, они определяли «хорошие орбифолды»). Позже Андре Хафлигер дал более общее определение через группоиды , которое является стандартным современным определением.

Примечания

Литература

• Арнольд, В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. — М.: ФАЗИС, 1996. — 334 с. — ISBN 978-5-7036-0021-4 .
• Каку, Мичио. Введение в теорию суперструн / пер. с англ. Г. Э. Арутюнова, А. Д. Попова, С. В. Чудова; под ред. И. Я. Арефьевой. — М. : Мир , 1999. — 624 с. — ISBN 5-03-002518-9 .
• Кетов, С. В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. — Новосибирск: Наука, 1990. — 368 с. — ISBN 5-02-029660-0 .
• Скотт П. Геометрия на трёхмерных многообразиях. — М.: Мир, 1986.
• Dixon L., Harwey J. A., Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.