Точка перегиба — точка плоской кривой , в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Определения

Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую , то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной . Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак. Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую .

Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция ${\displaystyle y=x^{5}(1+\sin ^{2}{\frac {1}{x}})}$ при ${\displaystyle x\neq 0,y=0}$ при ${\displaystyle x=0}$ , которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная . Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).

Точка кривой называется точкой распрямления , если кривизна кривой в этой точке равна нулю . Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления .

Дифференцируемая функция имеет точку перегиба ${\displaystyle (x,f(x))}$ тогда и только тогда, когда её первая производная , ${\displaystyle f'}$ , имеет изолированный экстремум в точке ${\displaystyle x}$ (это не то же самое, что ${\displaystyle f}$ имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$ имеется одна и только одна точка, в которой ${\displaystyle f'}$ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции ${\displaystyle f'}$ изолированы , то точка перегиба — это точка на графике ${\displaystyle f}$ , в которой касательная пересекает кривую .

Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего .

Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.

Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух .

Свойства

Точка перегиба ${\displaystyle m}$ однозначно характеризуется двумя свойствами:

• в точке ${\displaystyle m}$ кривая имеет единственную касательную ,
• в достаточно малой окрестности точки ${\displaystyle m}$ кривая расположена внутри одной пары противоположных углов, образуемых касательной и нормалью .

Если кривая задана как график дифференцируемой функции ${\displaystyle f}$ , точка перегиба является точкой экстремума для ${\displaystyle f'}$ .

Необходимое и достаточное условия

Если ${\displaystyle x}$ является точкой перегиба для ${\displaystyle f}$ , то вторая производная ${\displaystyle f''(x)}$ равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным . Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления . В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба .

Определение предполагает, что ${\displaystyle f}$ имеет ненулевую производную более высокого порядка по ${\displaystyle x}$ , которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак ${\displaystyle f'(x)}$ постоянен по обеим сторонам от ${\displaystyle x}$ в окрестности точки ${\displaystyle x}$ .

Достаточное условие точки перегиба:

1) Достаточным условием точки перегиба является:

Если ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$ , где ${\displaystyle k}$ нечётно и ${\displaystyle k\geq 3}$ , ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})=0}$ для ${\displaystyle n=2,\dots ,k-1}$ и ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$ , то ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой перегиба ${\displaystyle f(x)}$ .

2) Другое достаточное условие требует, чтобы ${\displaystyle f''(x+\varepsilon )}$ и ${\displaystyle f''(x-\varepsilon )}$ имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная .

Классификация точек перегиба

Точки перегиба можно классифицировать согласно производной ${\displaystyle f'(x)}$ :

• если ${\displaystyle f'(x)}$ равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба ;
• если ${\displaystyle f'(x)}$ не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба .

Примером седловой точки является точка ${\displaystyle (0,0)}$ графика ${\displaystyle y=x^{3}}$ . Касательной служит ось ${\displaystyle x}$ , и она разделяет график в этой точке.

Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции ${\displaystyle y=x^{3}}$ , если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.

Функции с разрывами

Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию ${\displaystyle 2x^{2}/(x^{2}-1)}$ . Она выпукла при ${\displaystyle |x|>1}$ и вогнута при ${\displaystyle |x|<1}$ . Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1}$ не принадлежат области определения функции.

См. также

• Критическая точка
• Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
• , архитектурная форма с точками перегиба
• Вершина кривой , локальный минимум или максимум кривизны

Примечания

Литература

• Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8 , ББК 22.15.
• I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Handbook of Mathematics. — 5. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-72121-5 .
• Л. Д. Кудрявцев. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. — Москва: «Высшая школа», 1981. — Т. 1. — С. 190—195.
• Г. М. Фихтенгольц. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — ISBN 5-9221-0156-0 .
• П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. — Москва, Ленинград: Государственное издательство техническо-теоретической литературы, 1950.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Ссылки