Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ через перестановки её элементов:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — функция знака перестановки в группе перестановок ${\displaystyle S_{n}}$ , которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.

С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна :

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}}}$ .

Названа в честь Готфрида Лейбница , который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году .

Функция, определённая формулой Лейбница , является единственной , обращающейся в единицу на единичной матрице . Таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция , полилинейная относительно столбцов и строк, обращающаяся в единицу на единичной матрице.

Вычислительная сложность

Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ операций, то есть количество операций, асимптотически пропорциональное факториалу ${\displaystyle n}$ (числу упорядоченных перестановок из ${\displaystyle n}$ элементов). Для больших ${\displaystyle n}$ определитель можно вычислить за ${\displaystyle O(n^{3})}$ операций путём формирования LU-разложения ${\displaystyle A=LU}$ , обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов, для которого ${\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}$ , а определители треугольных матриц ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle U}$ равняются произведениям диагональных элементов матриц. В практических приложениях вычислительной линейной алгебры , однако, явное вычисление определителя используется редко .

Смотрите также

• Дифференцирование поисковой функции
• Формула Лейбница (производной произведения)

Литература

• Определитель — статья из Математической энциклопедии . Д. И. Супруненко
• Lloyd N. Trefethen, David Bau. . — , 1997. — ISBN 978-0898713619 .
• Serge Lang. Linear Algebra. — Springer-Verlag, 2004. — (Undergraduate texts in mathematic). — ISBN 0-387-96412-6 .

1. , с. 148 Theorem 2.3.
2. .