Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами : двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота ) и углом поворота.

Для заданного угла ${\displaystyle \varphi }$ и единичного вектора ${\displaystyle n}$ обозначим ${\displaystyle R(\varphi ,n)}$ вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол ${\displaystyle \varphi }$ . Тогда:

• ${\displaystyle R(0,n)}$ — тождественное отображение для любого ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle R(\varphi ,n)=R(-\varphi ,-n)}$
• ${\displaystyle R(\pi +\varphi ,n)=R(\pi -\varphi ,-n)}$

Для любого вращения существует единственный угол ${\displaystyle \varphi }$ , для которого ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }$ , при этом:

• ${\displaystyle n}$ определяется однозначно, если ${\displaystyle 0<\varphi <\pi }$ ;
• ${\displaystyle n}$ любое, ${\displaystyle \varphi =0}$ ;
• ${\displaystyle n}$ определяется однозначно с точностью до знака, если ${\displaystyle \varphi =\pi }$ (то есть, вращения ${\displaystyle R(\varphi ,\pm n)}$ одинаковы).

Геометрия группы вращений

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства (группы SO(3) ). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе SO(3).

См. также

• SO(3)
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера