Interested Article - Интеграл Коши — Лагранжа

Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости ( уравнений Эйлера ) в случае потенциальных течений . В отличие от интеграла Бернулли интеграл Коши — Лагранжа может применяться к нестационарным течениям, что позволяет применять его к анализу волн на поверхности жидкости .

Варианты названия

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа и интеграл Лагранжа — Коши используются термины интеграл Коши , интеграл Лагранжа . В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия , либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений ( англ. unsteady form of Bernoulli's equation , Bernoulli's theorem for unsteady potential flow )

Историческая справка

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Леонардом Эйлером . Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости .

Формулировка

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

Интеграл Коши — Лагранжа может быть введён только для потенциальных течений идеальной жидкости , для которых вектор скорости , $\mathbf {V}$ , выражается через потенциал скорости, $\mathbf {V} =\nabla \,\varphi (x,y,z,t)$ , или, что то же самое, для безвихревых ( англ. irrotational ) течений, в которых завихренность тождественно равна нулю: $\nabla \times \mathbf {V} \equiv 0$ . В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),

где — $p(x,y,z,t)$ — давление в жидкости, $\rho$ — её плотность (предполагается постоянной в модели несжимаемой жидкости), $g$ — ускорение свободного падения , $x$ , $y$ , $z$ — декартовы координаты (ось $z$ направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь $f(t)$ — некоторая функция времени, которую можно принять тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости ${\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt$ (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случай

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, $\rho =\rho (p)$ (такие течения называются баротропными ). В этом случае векторное поле массовой силы (действующей на жидкость объемной силы, отнесённой к единице массы) обязательно будет потенциальным: $\mathbf {F} =-\nabla \,\Pi ,$ где $\Pi (x,y,z,t)$ — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости $\varphi$ ), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho (p)}}+\Pi =f(t).

См. также

Интеграл Бернулли

Примечания

, с. 149.
↑ , §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163.
.
Ламб Г. §20 // Гидродинамика. — М. - Л. : ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947. — С. 35-36. — 928 с.
, Unsteady Irrotational Flow, p. 121.
Faber Т.Е. 4.3 Bernoulli's theorem for unsteady potential flow // Fluid dynamics for physicists (англ.) . — Cambridge University Press, 1995. — P. 122-123. — 440 p.
- Euler L. // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11 . — С. 274–315 . 7 декабря 2013 года. ;
- русский перевод: Эйлер Л. // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6 . 7 декабря 2013 года. ;
- исторический комментарий: Михайлов Г. К. // Известия Российской академии наук . Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6 . 7 декабря 2013 года.
Lagrange. // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781. 7 декабря 2013 года.
Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Sciences mathématiques et physiques. — 1827. — Т. 1 .
, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163—164: «Комбинация уравнений (15) и (12) при $\Pi =gz$ ».
: «уравнения (2.6), (2.7)».

Литература

Кочин Н. Е. , Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М. : Физматгиз, 1963. — Т. 1. — С. 114. — 584 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М. : Наука , 1988 . — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
Лойцянский Л. Г. . — М. : Дрофа, 2003. — С. 163—166. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6 .
Седов Л. И. Глава 11. Потенциальные течения несжимаемой жидкости. Интеграл Коши — Лагранжа // Механика сплошной среды. — М. : Наука , 1970. — Т. 2. — С. 149—157. — 568 с.
Kundu P. K., Cohen I. M. Fluid Mechanics (англ.) . — Academic Press, 2002. — 730 p.