Interested Article - Тождество четырёх квадратов

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов.

Формулировка

{\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\\&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\\&+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}

Это тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца . Однако если $a_{i}$ и $b_{i}$ — вещественные числа , тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов , а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|

.

Аналогичные тождества

«тождество одного квадрата»

a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}

означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:

|ab|=|a||b|

,

«тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты )

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}

означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:

|ab|=|a||b|

,

« тождество восьми квадратов » означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:

$|ab|=|a||b|$ .

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2 ^N квадратов, где N — любое натуральное число) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.