Число Эйзенштейна ( число Эйлера ) — комплексное число вида:

${\displaystyle z=a+b\omega }$

где a и b — целые и

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

— кубический невещественный корень из единицы . Целые Эйзенштейна формируют треугольную решетку на комплексной плоскости . (Аналогично тому, как гауссовы целые числа образуют квадратную решетку.)

Систематически исследованы немецким математиком Фердинандом Эйзенштейном .

Свойства

Множество целых чисел Эйзенштейна является коммутативным кольцом . Это кольцо содержится в поле алгебраических чисел ${\displaystyle \mathbf {Q} (\omega )}$ — в круговом поле третьей степени.

Число ${\displaystyle \omega }$ удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.}$ и является целым алгебраическим числом . Поэтому и все целые Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами .

Можно также явно выписать многочлен , корнем которого является ${\displaystyle z=a+b\omega }$ ,

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).}$

Произведение двух чисел Эйзенштейна ${\displaystyle a+b\omega }$ и ${\displaystyle c+d\omega }$ дает

${\displaystyle (a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .}$

Норма целого числа Эйзенштейна есть квадрат абсолютной величины

${\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Таким образом, норма целого числа Эйзенштейна всегда является натуральным целым. Поскольку

${\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},}$

норма целого числа Эйзенштейна, не равного нулю, всегда положительна.

Группа единиц кольца чисел Эйзенштейна является циклической группой , сформированной шестью корнями из единицы на комплексной плоскости. А именно

${\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}}$

А это и есть целые числа Эйзенштейна единичной нормы.

Простые числа Эйзенштейна

Если ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y если существует некоторое целое число Эйзенштейна ${\displaystyle z}$ , такое, что ${\displaystyle y=zx}$ .

Это расширяет понятие делимости натуральных целых чисел . Мы также можем расширить понятие простого числа ; Говорят, что отличное от единицы целое число Эйзенштейна x является простым числом Эйзенштейна , если все его делители имеют вид ${\displaystyle ux}$ , где ${\displaystyle u}$ — любая из шести единиц.

Можно показать, что натуральные простые числа , сравнимые с 1 по модулю 3, а также число 3, можно представить в виде ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$ ( ${\displaystyle x,y}$ — целые) и, поэтому, могут быть разложены ${\displaystyle (x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)}$ , а следовательно, не являются простыми числами Эйзенштейна. Натуральные простые числа, сравнимые с 2 по основанию 3, не могут быть представлены тем же образом, так что они являются также и простыми числами Эйзенштейна.

Каждое целое число Эйзенштейна ${\displaystyle a+b\omega }$ , норма которого ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ — натуральное простое, являются простыми Эйзенштейна.

Евклидово кольцо

Кольцо чисел Эйзенштейна образуют евклидово кольцо , в котором норма N задается формой

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Это может быть выведено следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}$

Факторгруппа C по целым Эйзенштейна

Факторгруппа комплексной плоскости C по решётке , содержащей все целые числа Эйзенштейна, является комплексным тором действительной размерности 2, который выделяется наибольшей группой симметрий среди всех комплексных торов действительной размерности 2.

См. также

• Гауссовы целые числа
• Кольцо Куммера
• Кубический закон взаимности
• Кватернион Гурвица
• Квадратные числа
• Круговое поле

Примечания

Ссылки