Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ никакую n -ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}$

не имеют решения в натуральных числах. Опровергнута .

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма , которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры

k = 7

127 ⁷ + 258 ⁷ + 266 ⁷ + 413 ⁷ + 430 ⁷ + 439 ⁷ + 525 ⁷ = 568 ⁷ , (М. Додрилл, 1999)

n = 8

90 ⁸ + 223 ⁸ + 478 ⁸ + 524 ⁸ + 748 ⁸ + 1088 ⁸ + 1190 ⁸ + 1324 ⁸ = 1409 ⁸ , (Скотт Чейз, 2000)

n = 5

В 1966 году Л. Ландер ( англ. L. J. Lander ), Т. Паркин ( англ. T. R. Parkin ) и с помощью суперкомпьютера CDC 6600 нашли первый контрпример для n = 5:

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$

n = 4

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая n = 4:

${\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.}$

В 1988 году Роджер Фрай ( англ. Roger Frye ) нашёл наименьший контрпример для n = 4:

${\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.}$

Обобщения

В 1966 году Л. Д. Ландер ( англ. L. J. Lander ), Т. Р. Паркин ( англ. T. R. Parkin ) и высказали гипотезу, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$ , где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ — положительные целые числа, ${\displaystyle i={\overline {1,n}},j={\overline {1,m}}}$ , то ${\displaystyle m+n\geqslant k}$ .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$ , то ${\displaystyle n\geqslant k-1}$ .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$ , где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ , называется ( k , n , m )-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k , n , m занимаются проекты распределённых вычислений и yoyo@home .

См. также

• Великая теорема Ферма
• Задача о четырёх кубах
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

Ссылки

• от 9 декабря 2013 на Wayback Machine
• от 21 июня 2013 на Wayback Machine