Interested Article - Аффинная унимодулярная группа

Аффи́нная унимодуля́рная гру́ппа, или эквиаффи́нная гру́ппа — множество всех аффинных преобразований плоскости или пространства с определителем своей матрицы $\pm 1$ , которые и составляют группу :

Аффинная унимодулярная группа, или эквиаффинная группа SGL ( n ) , — подгруппа более широкой аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n ‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют площади и объёмы фигур .

В свою очередь, известные подгруппы аффинной унимодулярной группы следующие:

центроаффинная унимодулярная группа, или унимодулярная группа SL ( n ), — подгруппа аффинной унимодулярной группы, множество всех аффинных унимодулярных преобразований n ‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку, называемую центром аффинного пространства ;
ортогональная группа , или группа евклидовых движений , — подгруппа аффинной группы, множество всех аффинных преобразований n ‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют фиксированную невырожденную квадратичную форму ;

группа вращений, или специальная ортогональная группа SO ( n ), — подгруппа ортогональной и центроаффинной унимодулярной групп, множество всех ортогональных преобразований n ‑мерного аффинного пространства, которые сохраняют неподвижной одну точку .

Аналитическое представление аффинной унимодулярной группы

Аналитическое представление аффинной унимодулярной группы для плоскости

Аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах на плоскости следующее :

x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}

,

y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}

.

Оно будет представлением унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен $\pm 1$ :

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}=\pm 1

.

Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное унимодулярное преобразование

x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}

,

y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}

задаётся шестью независимыми параметрами

a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}

,

которые связаны одним равенством $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=\pm 1$ , аффинная унимодулярная группа пятичленная .

Аналитическое представление аффинной унимодулярной группы для пространства

Аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах в пространстве размерности $n$ , $n\geqslant 1$ , следующее:

x^{\prime p}=\sum _{q=1}^{n}{A_{q}^{p}x^{q}}+a^{p}

, или

x^{\prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}

,

p,q=1,2,\ldots ,n

.

где суммирование записано двумя разными способами (соответственно обычным со знаком суммирования и по правилу суммирования Эйнштейна ).

Оно будет представлением унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен $\pm 1$ :

\Delta =|A_{q}^{p}|=\pm 1

.

Поскольку в неоднородных координатах каждое аффинное унимодулярной преобразование

x^{\prime p}=\sum _{q=1}^{n}{A_{q}^{p}x^{q}}+a^{p}

, или

x^{\prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}

,

задаётся $n^{2}+n=n(n+1)$ независимыми параметрами аффинной группы $A_{q}^{p}$ и $a^{p}$ , которые связаны одним равенством $|A_{q}^{p}|=\pm 1$ , аффинная группа $(n(n+1)-1)$ -членная .

Аналитическое доказательство групповых свойств аффинных унимодулярных преобразований

То, что множество всех аффинных унимодулярных преобразований пространства образуют группу, легко установить чисто аналитическими средствами .

Воспользуемся тем обстоятельством, что для доказательства групповых свойств некоторой совокупности преобразований некоторого множества, достаточно выполнения следующих двух свойств этой совокупности преобразований :

если два преобразования $a$ и $b$ принадлежат данной совокупности, то их композиция , то есть последовательное выполнение, $ab$ также ей принадлежит;
если преобразование $a$ принадлежит данной совокупности, то преобразование $a^{-1}$ , ему обратное, также ей принадлежит.

Докажем несложными алгебраическими выкладками, что для аффинных унимодулярных преобразований предыдущие два условия выполняются, то есть что совокупность аффинных преобразований образует группу .

Аналитическое доказательство групповых свойств аффинных унимодулярных преобразований плоскости

Докажем, что композиция аффинных унимодулярных преобразований плоскости есть снова аффинное унимодулярных преобразование плоскости .

Доказательство

Пусть аффинное унимодулярное преобразование плоскости

x^{\prime \prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}

,

y^{\prime \prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}

представляет собой композицию следующих преобразований:

x^{\prime }=a_{(1)1}x+b_{(1)1}y+c_{(1)1}

,

y^{\prime }=a_{(1)2}x+b_{(1)2}y+c_{(1)2}

и

x^{\prime \prime }=a_{(2)1}x^{\prime }+b_{(2)1}y^{\prime }+c_{(2)1}

,

y^{\prime \prime }=a_{(2)2}x^{\prime }+b_{(2)2}y^{\prime }+c_{(2)2}

.

Тогда их квадратные матрицы составляют следующее равенство:

{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{(2)1}&b_{(2)1}\\a_{(2)2}&b_{(2)2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{(1)1}&b_{(1)1}\\a_{(1)2}&b_{(1)2}\end{pmatrix}}

.

Следовательно, определители этих квадратных матриц связаны равенством $\Delta =\Delta _{(1)}\Delta _{(2)}$ , и если $\Delta _{(1)}=\Delta _{(2)}=\pm 1$ , то и $\Delta =\pm 1$ .

Докажем, что преобразование плоскости, обратное аффинному унимодулярному преобразованию плоскости, есть снова аффинное унимодулярное преобразование плоскости .

Доказательство

Если два аффинных унимодулярных преобразования плоскости взаимно обратны, то тогда также взаимно обратны и их квадратные матрицы, и определители этих матриц. Следовательно, если $\Delta _{1}$ и $\Delta _{2}$ суть определители двух взаимно обратных аффинных унимодулярных преобразования плоскости, то $\Delta _{2}={\frac {1}{\Delta _{1}}}$ . Получается, что если один из этих определителей равен $\pm 1$ , то тогда и второй равен также $\pm 1$ .

Аналитическое доказательство групповых свойств аффинных унимодулярных преобразований пространства

Докажем, что композиция аффинных унимодулярных преобразований пространства размерности $n$ , $n\geqslant 1$ , есть снова аффинное унимодулярных преобразование этого пространства .

Доказательство

Пусть аффинное унимодулярное преобразование пространства размерности $n$

x^{\prime \prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}

представляет собой композицию следующих преобразований:

x^{\prime p}=A_{(1)q}^{p}x^{q}+a_{(1)}^{p}

и

x^{\prime \prime p}=A_{(2)q}^{p}x^{\prime q}+a_{(2)}^{p}

.

Тогда их квадратные матрицы составляют следующее равенство:

(A_{q}^{p})=(A_{(2)q}^{p})\cdot (A_{(1)q}^{p})

.

Следовательно, определители этих квадратных матриц связаны равенством $|A_{q}^{p}|=|A_{(1)q}^{p}|\cdot |A_{(2)q}^{p}|$ , и если $|A_{(1)q}^{p}|=|A_{(2)q}^{p}|=\pm 1$ , то и $|A_{q}^{p}|=\pm 1$ .

Докажем, что преобразование пространства размерности $n$ , $n\geqslant 1$ ,, обратное аффинному унимодулярному преобразованию этого пространства, есть снова аффинное унимодулярное преобразование этого пространства .

Доказательство

Если два аффинных унимодулярных преобразования пространства размерности $n$ взаимно обратны, то тогда также взаимно обратны и их квадратные матрицы, и определители этих матриц. Следовательно, если $|A_{(1)q}^{p}|$ и $|A_{(2)q}^{p}|$ суть определители двух взаимно обратных аффинных унимодулярных преобразования этого пространства, то $|A_{(2)q}^{p}|={\frac {1}{|A_{(1)q}^{p}|}}$ . Получается, что если один из этих определителей равен $\pm 1$ , то тогда и второй равен также $\pm 1$ .

Примечания

↑ , 165. Аффинная унимодулярная группа, с. 418—419.
.
↑ .
, 5.4. Понятие о центральной аксонометрии, с. 284.
↑ .
.
.
.
.
↑ .
↑ .
, 166. Ортогональная группа, с. 420—421.
↑ , 165. Аффинная унимодулярная группа, с. 420.
↑ , 165. Аффинная унимодулярная группа, с. 419.
, 157. Группы преобразований, с. 409.
, 160. Проективная группа, с. 412.

Источники

Бескин Н. М. Методы изображений // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров , А. И. Маркушевич , А. Я. Хинчин . Ред. книги 4: В. Г. Болтянский , И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 228—290.
Долгачёв И. В. , Широков А. П. Аффинное пространство // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 362—363.
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2 .
Пиголкина Т. С. Ортогональное преобразование // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 87—88.
Попов В. Л. Ортогональная группа // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 81—84.
Сидоров Л. А. Аффинная унимодулярная группа // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 359.
Сидоров Л. А. Центроаффинная геометрия // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 811.
Сидоров Л. А. Центроаффинное пространство // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 811.
Сидоров Л. А. Эквиаффинная геометрия // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
Сидоров Л. А. Эквиаффинная плоскость // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
Широков А. П. Аффинная унимодулярная группа // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 359.