Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости , — это отображение комплексной плоскости на себя :

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные , ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ .

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную .

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразование ;
• дробно-линейная функция одной комплексной переменной;
• линейная комплексная рациональная функция ;
• одномерное комплексное преобразование Мёбиуса .

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного .

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией . Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна , что было использовано сэром Роджером Пенроузом .

Определение дробно-линейного преобразования

Формальное определение

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости , — это отображение комплексной плоскости на себя :

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, или коэффициенты , ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ .

Дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$ представляет дробь , числитель и знаменатель которой

${\displaystyle az+b}$ и ${\displaystyle cz+d}$

суть целые линейные функции :

При ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробь из ${\displaystyle L(z)}$ становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть ${\displaystyle L(z)}$ перестаёт быть дробно-линейным преобразованием .

При ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ становится следующей целой линейной функцией :

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$ .

Доопределение на расширенной комплексной плоскости

Компактифицируем комплексную плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Для этого добавим к множеству конечных точек ${\displaystyle z\neq \infty }$ этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку ${\displaystyle z=\infty }$ — некоторый абстрактный идеальный элемент .

Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ называется компактифицированная , то есть дополненная бесконечно удалённой точкой ${\displaystyle \infty }$ , комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . В связи с этим исходная комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ иногда называется конечной, или открытой , плоскостью .

Дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ , кроме следующих :

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ — кроме точек ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ ;
• при ${\displaystyle c=0}$ — кроме точки ${\displaystyle z=\infty }$ .

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости :

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ .

Легко получить, что :

• при ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ ввиду

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left({\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}\right)=\infty }$

доопределяем с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )=\infty }$ ;

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ два выражения

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}}$ , ${\displaystyle \lim _{z\to -{\frac {d}{c}}}{\frac {az+b}{cz+d}}=\infty }$

говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )={\frac {a}{c}}}$ , ${\displaystyle w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty }$ .

Синонимы дробно-линейного преобразования

В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования:

• как противопоставление целому линейному преобразованию :

• лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости ;
• о́бщее лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости ;
• билине́йное преобразова́ние комплексной плоскости ;
• лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости ;
• о́бщая лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости ;

• как проективное преобразование :

• гомографи́ческое преобразова́ние комплексной плоскости ;

• отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции ;

• дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскости ;

• преобразование осуществляется с помощью его функции:

• дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости ;
• рациона́льная фу́нкция первого порядка ;

• преобразование, сохраняющее окружности :

• то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскости ;
• преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскости ;
• отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскости ;

• в теории относительности :

• спи́новое преобразова́ние .

Простейшие свойства дробно-линейного преобразования

Детерминант дробно-линейного преобразования

Определитель, или детерминант , дробно-линейного преобразования, записанного в форме

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ , —

это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования :

${\displaystyle ad-bc}$ .

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной ${\displaystyle z}$ при условии ${\displaystyle c\neq 0}$ :

${\displaystyle w=L(z)={\frac {{\frac {a}{c}}z+{\frac {b}{c}}}{z+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(z+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{z+{\frac {d}{c}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(z+{\frac {d}{c}})}}}$ , ${\displaystyle c\neq 0}$ .

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ , то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ .

Не умаляя общности, можно разделить постоянные ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ обычной записи дробно-линейного преобразования либо на ${\displaystyle {\sqrt {ad-bc}}}$ , либо на ${\displaystyle -{\sqrt {ad-bc}}}$ — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице :

${\displaystyle ad-bc=1}$ .

Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице :

${\displaystyle ad-bc=1}$ .

Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой .

Биективность, гомеоморфность и конформность

1. Биективность. Дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ .

определена однозначно на всей расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ .

Выразим ${\displaystyle z}$ через ${\displaystyle w}$ ( ${\displaystyle c\neq 0}$ , случай ${\displaystyle c=0}$ достаточно очевиден):

${\displaystyle z={\frac {dw-b}{-cw+a}}={\frac {-dw+b}{cw-a}}}$ ,

получаем, что любому ${\displaystyle w}$ , ${\displaystyle w\neq {\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w\neq \infty }$ , отвечает одно определённое ${\displaystyle z}$ , а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам ${\displaystyle w={\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w=\infty }$ отвечают точки ${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно , то есть взаимно однозначно .

2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ . Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно , то есть взаимно однозначно и непрерывно на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ .

3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразования :

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L^{\prime }(z)={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}={\frac {ad-bc}{(cz+d)^{2}}}}$ .

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ , ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z\neq \infty }$ . Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ — простой полюс , а точка ${\displaystyle z=\infty }$ — регулярная , то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая . Оба вычета в точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ отличны от нуля: ${\displaystyle {\frac {bc-ad}{c^{2}}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {ad-bc}{c^{2}}}\neq 0}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ .

Равенство представлений дробно-линейных преобразований

Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

называются равными , если их они имеют одинаковые значения, то есть ${\displaystyle L_{1}(z)=L_{2}(z)}$ при всех значениях комплексной переменной ${\displaystyle z}$ .

Имеет место следующее утверждение :

• две формы дробно-линейных преобразования

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть

${\displaystyle a_{2}=\lambda a_{1}}$ , ${\displaystyle b_{2}=\lambda b_{1}}$ , ${\displaystyle c_{2}=\lambda c_{1}}$ , ${\displaystyle d_{2}=\lambda d_{1}}$ , ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ .

Последнее утверждение имеет следующее следствие :

• значение детерминанта ${\displaystyle ad-bc}$ дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L(z)}$ не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ заменить на постоянные ${\displaystyle \lambda a}$ , ${\displaystyle \lambda b}$ , ${\displaystyle \lambda c}$ и ${\displaystyle \lambda d}$ при ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ , то детерминант увеличится в ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта .

Таким образом, дробно-линейное преобразование

${\displaystyle L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров .

Неподвижные точки

В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

его образ ${\displaystyle w}$ , как правило, отличен от исходной точки ${\displaystyle z}$ комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования ${\displaystyle L(z)}$ .

Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению :

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

${\displaystyle z(cz+d)=az+b}$ ,

${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$ .

Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования ${\displaystyle z=z}$ ). В случае, когда при ${\displaystyle c=0}$ второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» ${\displaystyle \infty }$ . В частности :

• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle b=0}$ , поскольку ${\displaystyle 0=L(0)={\frac {b}{d}}}$ ;
• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=\infty }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c=0}$ , поскольку ${\displaystyle \infty =L(\infty )={\frac {a\infty +b}{c\infty +d}}}$ .

Неподвижные точки целого линейного преобразования

Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:

• целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку .

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ — целая линейная, если её постоянные ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ :

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$ .

В любом случае, поскольку всегда ${\displaystyle l(\infty )=\infty }$ , у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$ расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ .

1. Случай ${\displaystyle a\neq d}$ . Точка

${\displaystyle \xi _{2}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$ —

конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования

${\displaystyle w={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$ ,

задаваемая этим уравнением .

2. Случай ${\displaystyle a=d}$ . Если ${\displaystyle {\frac {a}{d}}=1}$ и ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$ , то у целого линейного преобразования

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}}$

нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\neq 1}$ , ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\to 1}$ конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$

стремится к бесконечно удалённой .

Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ считается дробно-линейной функцией общего вида , если её постоянная ${\displaystyle c\neq 0}$ . У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:

${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ ,

так как

${\displaystyle L(\infty )={\frac {a}{c}}\neq \infty }$ и ${\displaystyle L(-{\frac {d}{c}})=\infty \neq -{\frac {d}{c}}}$

соответственно .

Теперь, решая в общем случае уравнение

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$ , то есть ${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$ ,

при

${\displaystyle z\neq \infty }$ и ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$ ,

получим :

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$ .

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем :

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{2c}}}$ .

Имеем два случая.

• Дискриминант не равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$ ,

в унимодулярном случае :

${\displaystyle (a+d)^{2}-4\neq 0}$ .

Тогда существуют две различные конечные неподвижные точки .

• Дискриминант равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc=0}$ ,

в унимодулярном случае :

${\displaystyle (a+d)^{2}-4=0}$ , то есть ${\displaystyle a+d=\pm 2}$ .

Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}}$ ,

которая равна нулю тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=d}$ , ${\displaystyle c\neq 0}$ .

Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам

Только тождественное дробно-линейное преобразование ${\displaystyle U(z)=z}$ имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение :

• два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ вместе с их образами ${\displaystyle w_{1}}$ , ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ , причём такое преобразование единственное .

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров .

Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам

Построение преобразования по трём конкретным точкам

Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$ , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ , на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения :

${\displaystyle 0=\Lambda (z_{1})}$ , ${\displaystyle \infty =\Lambda (z_{2})}$ , ${\displaystyle 1=\Lambda (z_{3})}$ .

Имеет место следующее утверждение :

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$ , отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в конкретные точки ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$ соответственно, задаётся следующей функцией :

${\displaystyle \Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$ .

Построение преобразования по любым трём точкам

1. Сначала построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$ , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ , на которых преобразование имеет следующие конечные значения :

${\displaystyle w_{1}=L(z_{1})}$ , ${\displaystyle w_{2}=L(z_{2})}$ , ${\displaystyle w_{3}=L(z_{3})}$ .

Имеет место следующее утверждение :

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$ , отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в произвольные конечные точки ${\displaystyle w_{1}}$ , ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ соответственно, задаётся следующей неявной функцией :

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$ .

2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$ , ${\displaystyle k,l=1,2,3}$ , конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом :

• в случае, если какая-то ${\displaystyle z_{k_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для z) или какая-то ${\displaystyle w_{l_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для w) или они обе вместе ${\displaystyle z_{k_{0}}=w_{l_{0}}=\infty }$ , то тогда в уравнении

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$

разности с бесконечными ${\displaystyle z_{k_{0}}}$ и ${\displaystyle w_{l_{0}}}$ заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются .

Поскольку каждая из шести точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$ входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком , то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка ${\displaystyle z_{1}=\infty }$ , то тогда, временно считая ${\displaystyle z_{1}}$ конечной, заменим ${\displaystyle z-z_{1}}$ на

${\displaystyle {\frac {z}{z_{1}}}-1}$

и затем осуществим переход к пределу при ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$ .

Двойное отношение четырёх точек

Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек — это числовая величина, равная отношению

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$ ,

где ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа .

Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через ${\displaystyle \lambda }$ , то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин :

${\displaystyle \lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}}$ .

Распространим это определение на случай бесконечной точки.

Двойное отношением четырёх точек , одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности .

В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек :

${\displaystyle (\infty ,z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{2}}}}$ ,

${\displaystyle (z_{1},\infty ,z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z_{1}}}}$ ,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},\infty ,z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$ ,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},\infty )={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}}$ .

Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношения :

• двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.

Нормальная форма дробно-линейного преобразования

Общий случай двух различных конечных неподвижных точек

Итак, если не учитывать тождественное преобразование ${\displaystyle z=z}$ , то дробно-линейного преобразования разделены на два класса :

• имеющие две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ ;
• имеющие одну неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$ .

Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждение :

• дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

в общем случае имеющее при условиях ${\displaystyle c\neq 0}$ и ${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$ две различные конечные неподвижные точки

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$ ,

можно представить в неявной форме как

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$ , где ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}\neq 0;1}$ .

Определение нормальной формы и множителя

Неявная форма

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K_{1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$

называется нормальной формой, или каноническим видом , дробно-линейное преобразование с двумя различными конечными неподвижными точками, а постоянная ${\displaystyle K}$ называется множителем дробно-линейного преобразования .

Неявная форма представления дробно-линейного преобразования через множитель

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$

обладает следующим преимуществом по сравнению с обычным явным представлением

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ :

любую степень дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L^{n}}$ в неявной форме имеет простой вид. Степень преобразования в явном виде очень сложно выражается через постоянные ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ . Наоборот, действие преобразования самого на себя в неявной форме имеет простой вид, например :

${\displaystyle L^{2}:(v=Ky)^{2}}$ ,

${\displaystyle L^{2}:v=K(Ky)=K^{2}y}$ ,

${\displaystyle L^{2}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{2}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$ .

Аналогично

${\displaystyle L^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$ ;

${\displaystyle L^{-1}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-1}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$ ;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:{\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K^{-n}{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$ .

Забегая вперёд, можно сказать, что в частных случаях дробно-линейного преобразования неявная форма степени также имеет простой вид :

• случай одной конечной и одной бесконечной неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:w-\xi _{1}=K^{n}(z-\xi _{1})}$ ;;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:w-\xi _{1}=K^{-n}(z-\xi _{1})}$ ;;

• случай совпадающих конечных неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+nh}$ ;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:{\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}-nh}$ ;

• случай совпадающих бесконечных неподвижных точек:

${\displaystyle L^{n}:w=z+nh}$ ;

${\displaystyle (L^{-1})^{n}:w=z-nh}$ .

Выражения множителя через постоянные преобразования

Имеет место следующее утверждение:

• множитель ${\displaystyle K}$ , независимо от выбора третьей точки при их вычислении, выражаются двумя способами через постоянные дробно-линейного преобразования:

• через симметричную функцию ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ , также не зависящую от порядка этих неподвижных точек :

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad-bc}}-2}$ ,

в унимодулярном случае:

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2}$ ,

или

${\displaystyle {\sqrt {K}}+{\frac {1}{\sqrt {K}}}=a+d}$ ;

• непосредственно :

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}}}$ ,

в унимодулярном случае :

${\displaystyle K={\frac {a+d-{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{a+d+{\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}}}$ .

В любом случае при унимодулярном дробно-линейном преобразовании множитель ${\displaystyle K}$ зависят только от суммы двух постоянных преобразования ${\displaystyle a+d}$ .

Классификация дробно-линейных преобразований

Две различные неподвижные точки, одна бесконечная

Имеет место следующее утверждение :

• целое линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{d}}}$ ,

имеющее при условиях ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a\neq d}$ и унимодулярной нормировке ${\displaystyle ad=1}$ две различные неподвижные точки

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {b}{d-a}}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}=\infty }$ ,

можно представить в неявной нормальной форме как

${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$ ,

где ${\displaystyle K={\frac {a}{d}}\neq 1}$ — постоянная, причём также ${\displaystyle K\neq 0}$ , поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}={\frac {a}{d}}+{\frac {d}{a}}={\frac {a^{2}+d^{2}}{ad}}=}$ .

${\displaystyle ={\frac {(a+d)^{2}-2ad}{ad}}={\frac {(a+d)^{2}}{ad}}-2}$ ,

в унимодулярном случае, как и для двух различных конечных неподвижных точек,

${\displaystyle K+{\frac {1}{K}}=(a+d)^{2}-2}$ .

Совпадающие неподвижные точки

Рассмотрим дробно-линейное преобразование с одной двойной неподвижной точкой, которую будем обозначать ${\displaystyle \xi _{1}}$ . В этом случае не существует нормальной формы с множителем дробно-линейного преобразования, так как она превращается в тождество .

Имеет место следующее утверждение :

• дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ ,

имеющее при условиях ${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc=0}$ , в случае унимодулярности ${\displaystyle a+d=\pm 2}$ , и ${\displaystyle c\neq 0}$ двойную конечную неподвижную точку

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}}$ ,

можно представить в неявной нормальной форме как

${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$ ,

где ${\displaystyle h={\frac {2c}{a+d}}\neq 0}$ — постоянная, в случае унимодулярности ${\displaystyle h=\pm c}$ , причём при ${\displaystyle a+d=2}$ постоянная ${\displaystyle h=c}$ , а при ${\displaystyle a+d=-2}$ постоянная ${\displaystyle h=-c}$ .

При ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle a=d}$ , в случае унимодулярности ${\displaystyle a=d=\pm 1}$ , имеем двойную бесконечно удалённую неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$ и явную нормальную форму, совпадающую с самим преобразованием ${\displaystyle L}$ в обычном виде:

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}=w=z+h}$ ,

в случае унимодулярности

${\displaystyle w=z\pm b}$ .

Четыре типа дробно-линейных преобразований

Классификация дробно-линейных преобразований строится :

• на количестве неподвижных точек;
• на форме записи функции дробно-линейного преобразования по его неподвижным точкам.

Для классификации дробно-линейных преобразований привлечём показательную, или тригонометрическую, форму комплексного числа. Пусть

${\displaystyle K=re^{i\varphi }}$ ,

где вещественное число ${\displaystyle r=|K|\geqslant 0}$ — модуль, или абсолютная величина комплексного числа ${\displaystyle K}$ , а вещественное число ${\displaystyle -\pi <\varphi =\arg K\leqslant \pi }$ — главное значение аргумента комплексного числа ${\displaystyle K}$ .

Тогда можно определить следующие четыре типа дробно-линейных преобразований :

• случай различных неподвижных точек:

• ${\displaystyle K=r}$ , ${\displaystyle r>0}$ , ${\displaystyle r\neq 1}$ , — гиперболическое дробно-линейное преобразование, подобное преобразование с центром в начале координат;
• ${\displaystyle K=e^{i\varphi }}$ , ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$ , — эллиптическое дробно-линейное преобразование, вращение около начала координат;
• ${\displaystyle K=re^{i\varphi }}$ , ${\displaystyle r>0}$ , ${\displaystyle r\neq 1}$ , ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$ , — локсодромическое дробно-линейное преобразование, композиция гиперболического и эллиптического преобразований;

• случай одной неподвижной точки:

• ${\displaystyle K=1}$ — параболическое дробно-линейное преобразование, это перенос .

Для классификации дробно-линейных преобразований также привлечём два семейства окружностей при двух различных неподвижных точках :

• семейство всех окружностей ${\displaystyle \Sigma }$ , проходящих через обе неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ ;
• семейство всех окружностей ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ , ортогональных к окружностям первого семейства ${\displaystyle \Sigma }$ .

При единственной неподвижной точке окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ превращаются во все окружности, имеющие в неподвижной точке ${\displaystyle \xi _{1}}$ общую касательную, а семейство окружностей ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ исчезает .

Соберём в следующей таблице простейшие сведения о четырёх типах дробно-линейных преобразований .

Четыре типа дробно-линейных преобразований

	Гиперболическое	Эллиптическое	Локсодромическое	Параболическое
Нормальная форма общего случая ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$
Бесконечной неподвижной точки нет	${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$			${\displaystyle {\frac {1}{w-\xi _{1}}}={\frac {1}{z-\xi _{1}}}+h}$
Бесконечная неподвижная точка есть	${\displaystyle w-\xi _{1}=K(z-\xi _{1})}$			${\displaystyle w=z+h}$
Ограничения на ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle h}$	${\displaystyle K\neq 1,}$ ${\displaystyle K>0}$	${\displaystyle K\neq 1,}$ ${\displaystyle |K|=1}$	${\displaystyle |K|\neq 1,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} K\neq 0}$ или ${\displaystyle K<0}$	${\displaystyle h\neq 0}$
Показательная форма ${\displaystyle K}$	${\displaystyle K=r,}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r\neq 1}$	${\displaystyle K=e^{i\varphi },}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$	${\displaystyle K=re^{i\varphi },}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r\neq 1,}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }\neq 1}$	${\displaystyle K=1}$
Унимодулярный случай ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}},}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$
Сумма постоянных ${\displaystyle a+d}$	${\displaystyle a+d}$ вещественное и ${\displaystyle |a+d|>2}$	${\displaystyle a+d}$ вещественное и ${\displaystyle |a+d|<2}$	${\displaystyle a+d}$ комплексное невещественное	${\displaystyle a+d=\pm 2}$
Геометрические свойства
Неподвижные круги	Окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ и их внутренности отображаются сами в себя	Окружности семейства ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются сами в себя	Нет неподвижных кругов	Отображаются сами в себя окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ и их внутренности
Неподвижные семейства кругов, сами круги не неподвижны	Окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются в окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов	Окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности отображаются в окружности ${\displaystyle \Sigma ^{\prime }}$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов
Неподвижные окружности, внутренности которых отображаются вовне	Нет таких неподвижных окружностей	При ${\displaystyle \phi =\pi }$ окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	При ${\displaystyle \phi =\pi }$ окружности семейства ${\displaystyle \Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	Нет таких неподвижных окружностей
Геометрическое преобразование комплексной плоскости	Подобие	Поворот	Комбинация подобия и поворота	Параллельный перенос

При дробно-линейном преобразовании через каждую точку расширенной комплексной плоскости (кроме неподвижных) проходит одна и только одна окружность неподвижного круга только в случае трёх типов преобразования из четырёх :

• гиперболического,
• эллиптического,
• параболического.

Причём, если ${\displaystyle \infty }$ не является неподвижной точкой, то есть ${\displaystyle c\neq 0}$ , тогда в каждом из этих трёх случаев существует одна и только одна окружность неподвижного круга, которая проходит через ${\displaystyle \infty }$ , то есть одна неподвижная полуплоскость с границей-прямой, проходящей через ${\displaystyle \infty }$ . Эта прямая проходит также через две конечные точки :

${\displaystyle w(\infty )={\frac {a}{c}}}$ , ${\displaystyle w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty }$ .

Примечания

Источники

• Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля . М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [ Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
• Гончаров В. Л. Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции // Энциклопедия элементарной математики . Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина . М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил. С. 11—139.
• Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. С. 384—387.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. Издание третье, перераб. и доп. М.: Наука, 1991. 448 с.: ил. ISBN 5-02-014200-Х.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
• Роджер Пенроуз , Вольфганг Риндлер . Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ. Д. В. Гальцова и В. И. Хлебникова. М.: Мир, 1987. 528 с, ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6 .
• Соломенцев Е. Д. Комплексное число // Математическая энциклопедия : Гл. ред. И. М. Виноградов , т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 1007—1011.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6 .
• Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского И. Берштейна . Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 364 с., ил. [ Stoilow S. Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
• Форд Р. Автоморфные функции / Пер. с англ. М. М. Гринблюма и В. С. Рабинович под ред. М. М. Гринблюма М. — Л.: Объединённое н.-т. изд-во НКТП СССР. Гл. ред. общетехнической лит-ры и номографии, 1936. 341 с., ил. [Forg Lister R. Automorphic Functions. McGraw-Hill Book Company, 1929.]
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1976. 320 с.: ил.
• Яглом И. М. Окружности // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров , А. И. Маркушевич , А. Я. Хинчин . Ред. книги 4: В. Г. Болтянский , И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 448—517.
• Яглом И. М. , Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров , А. И. Маркушевич , А. Я. Хинчин . Ред. книги 4: В. Г. Болтянский , И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Tristan Needham . Visual Complex Analysis. New York: Oxford University Press Inc., 2000. 592 p. ISBN 0 19 853447 7 (Hbk). ISBN 0 19 853446 9 (Pbk). [ . Визуальный комплексный анализ. Нью-йорк: Издательство Оксфордского университета , 2000. 592 с., ил.]