Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании . Подерные координаты точки дифференцируемой кривой состоят из двух величин, двух расстояний от некоторой заданной точки: до точки кривой и до соответствующей точки её подеры .

Традиционные системы координат , такие, как декартова и полярная , суть точечные понятия. В этих системах для любой точки плоскости один и только один набор координат с традиционными обозначениями ${\displaystyle (x,\;y)}$ для декартовой и ${\displaystyle (r,\;\varphi )}$ для полярной системы. В противоположность этому подерные координаты зависят от конкретных кривых, и произвольная точка плоскости имеет много разных подерных координат ${\displaystyle (r,\;p)}$ , которые зависят от выбранной кривой и полюса .

Определение подерных координат

Поде́рные координа́ты данной точки плоскости относительно произвольной фиксированной точки и дифференцируемой кривой, проходящей через данную точку, — расстояние ${\displaystyle r}$ от фиксированной точки до данной точки и расстояние ${\displaystyle p}$ от фиксированной точки до касательной к кривой в данной точке. Другими словами, подерные координаты точки кривой состоят из двух величин, двух расстояний от фиксированной точки: ${\displaystyle r}$ до точки кривой и ${\displaystyle p}$ до соответствующей точки её подеры .

Фиксированная точка из определения подерных координат называется началом координат, или подерной точкой, или полюсом подерной системы счисления, расстояние ${\displaystyle r}$ от начала координат до точки на кривой называется радиальным расстоянием точки кривой, а расстояние ${\displaystyle p}$ от начала координат до касательной прямой — перпендикулярным расстоянием точки кривой .

Если, например, взять другую кривую, проходящую через данную точку, оставив начало координат на месте, то в этом случае значение радиального расстояния ${\displaystyle r}$ останется прежним, но перпендикулярное расстояние ${\displaystyle p}$ может быть другим. Кроме того, изолированная точка кривой не имеет второй координаты ${\displaystyle p}$ , а точка самопересечения имеет две разные координаты ${\displaystyle p}$ .

Утверждение о подобии

Имеет место следующее утверждение о подобии :

радиальные и перпендикулярные расстояния кривой и её подеры подобны, то есть

${\displaystyle p^{2}=ru,}$

где ${\displaystyle u}$ — перпендикулярное расстояние соответствующей точки подеры .

Примеры подерных уравнений кривых

В этом разделе собраны примеры подерных уравнений кривых, то есть уравнений в подерной системе координат. Параметр ${\displaystyle a}$ задаёт размеры кривой :

• Астроида

Полюс подерных координат: центр астроиды.

Параметр ${\displaystyle a}$ : радиус окружности, в которую вписана астроида.

Подерное уравнение:

${\displaystyle r^{2}+3p^{2}=a^{2}.}$

• Лемниската Бернулли

Полюс подерных координат: центр лемнискаты.

Параметр ${\displaystyle a}$ : радиус окружности, в которую вписана лемниската.

Подерное уравнение:

${\displaystyle pa^{2}=r^{3}.}$

• Окружность

Полюс подерных координат: центр окружности.

Параметр ${\displaystyle a}$ : радиус окружности.

Подерное уравнение:

${\displaystyle pa=r^{2}.}$

• Парабола

Полюс подерных координат: фокус параболы.

Параметр ${\displaystyle a}$ : расстояние от фокуса до вершины параболы.

Подерное уравнение:

${\displaystyle p^{2}=ar.}$

• Эллипс

Полюс подерных координат: фокус эллипса.

Параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ : большая и малая полуоси эллипса.

Подерное уравнение:

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}-1.}$

Примечания

Источники

• Брус Дж., Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей: Пер. с англ. И. Г. Щербак под ред. В. И. Арнольда . М.: Мир, 1988. 262 с, ил. (Современная математика. Вводные курсы) ISBN 5-03-001194-3 . [J. William Bruce, Peter G. Giblin. Curves and Singularities. A geometrical introduction to singularity theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.]
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.