Теорема Волда — утверждение математической статистики , согласно которому каждый слабо стационарный временной ряд можно представить в виде скользящего среднего бесконечного порядка ${\displaystyle \mathrm {MA} (\infty )}$ . Такое представление называют представлением скользящим средним для временных рядов.

Установлена Херманом Волдом .

Формально:

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t}}$ ,

где:

• ${\displaystyle Y_{t}}$ — рассматриваемый временной ряд ,
• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ — белый шум на входе линейного фильтра ${\displaystyle \{b_{j}\}}$ ; также применяется термин «инновация» ( англ. innovation )
• ${\displaystyle b_{j}}$ — последовательность коэффициентов скользящего среднего (параметров или весов)
• ${\displaystyle \eta _{t}}$ — детерминированная компонента; равна нулю, если у ${\displaystyle Y_{t}}$ нет трендов .

Коэффициенты ${\displaystyle b_{j}}$ удовлетворяют следующим условиям:

1. ${\displaystyle b_{0}=1}$
2. ряд ${\displaystyle b_{j}}$ сходится абсолютно : ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|<\infty }$
3. отсутствуют члены с ${\displaystyle j<0}$
4. постоянны (не зависят от ${\displaystyle t}$ )

Примечания

Литература

• Anderson, T. W. (1971) The Statistical Analysis of Time Series . Wiley.
• Wold, H. (1954) A Study in the Analysis of Stationary Time Series , Second revised edition, with an Appendix on «Recent Developments in Time Series Analysis» by Peter Whittle. Almqvist and Wiksell Book Co., Uppsala.
• Scargle, J.D. (1981) Studies in astronomical time series analysis. I — Modeling random processes in the time domain,,' 1981, Astrophysical Journal Supplement Series, 45, pp. 1-71.