Ве́кторная решётка ( ${\displaystyle K}$ -линеал , пространство Риса , в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура ) — вещественное или комплексное векторное пространство , наделённое структурой алгебраической решётки . Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году , с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе .

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве ${\displaystyle X}$ с произвольным выделенным подклассом элементов ${\displaystyle X_{+}\subset X}$ , называемых положительными элементами ( ${\displaystyle 0\notin X_{+}}$ ), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: ${\displaystyle x>y\Leftrightarrow x-y\in X_{+}}$ (в этом случае ${\displaystyle x\in X_{+}\Rightarrow x>0}$ ), если при этом выполнены следующие условия:

• если ${\displaystyle x>0}$ , то ${\displaystyle x\neq 0}$ ,
• если ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle y>0}$ , то ${\displaystyle x+y>0}$
• для любых двух элементов ${\displaystyle x,y\in X}$ существует их супремум ${\displaystyle x\vee y}$ ,
• если ${\displaystyle x>0}$ и для элемента числового поля ${\displaystyle \lambda }$ выполнено ${\displaystyle \lambda >0}$ , то ${\displaystyle \lambda x>0}$ .

Всякая векторная решётка .

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента ${\displaystyle x\in X}$ в виде разности двух положительных элементов ${\displaystyle x=x_{+}-x_{-}}$ , где ${\displaystyle x_{+}=x\vee 0}$ называется положительной частью элемента ${\displaystyle x}$ , а ${\displaystyle x_{-}=(-x)\vee 0}$ — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: ${\displaystyle |x|=x_{+}+x_{-}}$ , причём всегда выполнено ${\displaystyle x\leqslant x_{+}\leqslant |x|}$ . Для ограниченности множества ${\displaystyle U\in X}$ в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов ${\displaystyle U^{*}=\{|x|,\,x\in U\}}$ .

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решётки .

Примечания

Литература

• А. В. Бухвалов, А. И. Векслер, Г. Я. Лозановский. // Успехи математических наук . — 1979. — Т. 34 , № 2 (206) . — С. 137–183 .
• Вулих Б. З. Глава III. Линейные структуры // Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 408 с. — 9000 экз.