Обозначим через ${\displaystyle N(f)}$ число положительных корней многочлена ${\displaystyle f}$ , а через ${\displaystyle L(f)}$ число перемен знака в последовательности его коэффициентов. Очевидно, что эти значения не изменятся, если умножить многочлен на ${\displaystyle -1}$ , поэтому можно считать, что старший коэффициент ${\displaystyle f}$ положителен, не уменьшая общности. Кроме того, если ${\displaystyle 0}$ является корнем многочлена ${\displaystyle f}$ кратности ${\displaystyle k}$ , можно разделить ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle x^{k}}$ , а ${\displaystyle N(f)}$ и ${\displaystyle L(f)}$ от этого, очевидно, также не изменятся. Вследствие последнего можно считать, что ${\displaystyle 0}$ не является корнем многочлена, то есть свободный член многочлена ${\displaystyle f}$ отличен от нуля.

Докажем последовательно несколько лемм:

Лемма 1

${\displaystyle N(f)\equiv L(f){\pmod {2}}}$

Доказательство: Пусть ${\displaystyle a}$ - свободный член ${\displaystyle f}$ . Тогда ${\displaystyle f(0)=a}$ . Так как по условию старший член ${\displaystyle f}$ положителен, мы можем утверждать, что значение ${\displaystyle f(x)>0}$ , при достаточно больших х. Если двигаться по числовой прямой вправо, то при прохождении корня многочлена ${\displaystyle f}$ кратности ${\displaystyle k}$ , ${\displaystyle f(x)}$ меняет знак на ${\displaystyle (-1)^{k}}$ . Следовательно количество положительных корней с учётом кратности чётно, если ${\displaystyle f(0)>0}$ , и нечётно если наоборот. Данный признак определяется положительностью или отрицательностью ${\displaystyle a}$ . Также очевидно, что так как старший коэффициент многочлена положителен, чётность ${\displaystyle L(f)}$ так же зависит от положительности свободного члена. Таким образом лемма доказана.

Лемма 2

${\displaystyle N(f)\leqslant N(f')+1}$

Доказательство: По теореме Ролля между любыми двумя корнями многочлена ${\displaystyle f}$ лежит корень его производной. Кроме того каждый корень кратности ${\displaystyle k}$ многочлена ${\displaystyle f}$ является корнем кратности ${\displaystyle k-1}$ его производной. Отсюда получаем ${\displaystyle N(f')\geqslant N(f)-1}$ . Что и требовалось доказать.

Лемма 3

${\displaystyle L(f')\leqslant L(f)}$

Доказательство: Очевидно, что данная характеристика при дифференцировании многочлена не может увеличиться.

Утверждение

Число отрицательных корней многочлена ${\displaystyle f}$ равно числу положительных корней многочлена ${\displaystyle g(x)=(-1)^{n}f(-x)}$ , где ${\displaystyle n=\deg f}$ .

Лемма 4

${\displaystyle L(f)+L(g)\leqslant n}$

Доказательство: Коэффициенты многочлена ${\displaystyle g}$ получаются из коэффициентов многочлена ${\displaystyle f}$ попеременным умножением на ${\displaystyle \pm 1}$ . Если предположить, что все коэффициенты многочлена ${\displaystyle f}$ отличны от нуля, то на том месте, где в их ряду была перемена знака, в ряду коэффициентов многочлена ${\displaystyle g}$ перемены знака не будет и наоборот - где не было у ${\displaystyle f}$ , будет у ${\displaystyle g}$ . Поэтому в этом случае сумма чисел перемен знаков в этих многочленах в точности равна ${\displaystyle n}$ . При замене некоторых коэффициентов нулями количество перемен знаков не может увеличится, следовательно в общем случае имеем: ${\displaystyle L(f)+L(g)\leqslant n}$ . Лемма доказана.

Доказательство теоремы

Докажем неравенство ${\displaystyle N(f)\leqslant L(f)}$ индукцией по ${\displaystyle \deg f}$ . База индукции: при ${\displaystyle \deg f=0}$ , ${\displaystyle N(f)=L(f)=0}$ . Пусть ${\displaystyle \deg f=n>0}$ . Тогда ${\displaystyle \deg f'=n-1}$ . Пользуясь леммами 2 и 3 и предположением индукции, что ${\displaystyle N(f')\leqslant L(f')}$ , получаем: ${\displaystyle N(f)\leqslant N(f')+1\leqslant L(f')+1\leqslant L(f)+1}$ . Однако равенство ${\displaystyle N(f)=L(f)+1}$ невозможно ввиду леммы 1. А так как ${\displaystyle N(f)}$ и ${\displaystyle L(f)}$ являются натуральными числами, мы имеем: ${\displaystyle N(f)\leqslant L(f)}$ .

Если же все корни многочлена ${\displaystyle f}$ вещественны, то в силу доказанного неравенства и леммы 4 имеем: ${\displaystyle n=N(f)+N(g)\leqslant L(f)+L(g)\leqslant n}$ . Откуда по первой части теоремы получаем: ${\displaystyle N(f)=L(f)}$ и ${\displaystyle N(g)=L(g)}$ , из чего и следует теорема.