Interested Article - Алгоритм нахождения корня n-ной степени

Арифметическим корнем -ной степени положительного действительного числа называется положительное действительное решение уравнения (для целого существует комплексных решений данного уравнения, если , но только одно является положительным действительным).

Существует быстросходящийся алгоритм нахождения корня -ной степени :

  1. Сделать начальное предположение ;
  2. Задать ;
  3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Частным случаем является итерационная формула Герона для нахождения квадратного корня , которая получается подстановкой в шаг 2: .

Существует несколько выводов данного алгоритма. Одно из них рассматривает алгоритм как частный случай метода Ньютона (также известного как метод касательных ) для нахождения нулей функции с заданием начального предположения. Хотя метод Ньютона является итерационным, он сходится очень быстро. Метод имеет квадратичную скорость сходимости — это означает, что число верных разрядов в ответе удваивается с каждой итерацией (то есть увеличение точности нахождения ответа с 1 до 64 разрядов требует всего лишь 6 итераций, но не стоит забывать о машинной точности ). По этой причине данный алгоритм используют в компьютерах как очень быстрый метод нахождения квадратных корней.

Для больших значений данный алгоритм становится менее эффективным, так как требуется вычисление на каждом шаге, которое, тем не менее, может быть выполнено с помощью алгоритма быстрого возведения в степень .

Вывод из метода Ньютона

Метод Ньютона — это метод нахождения нулей функции . Общая итерационная схема:

  1. Сделать начальное предположение
  2. Задать ;
  3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Задача нахождения корня -ой степени может быть рассмотрена как нахождение нуля функции , производная которой равна .

Тогда второй шаг метода Ньютона примет вид

Ссылки

  • Atkinson, Kendall E. (1989), An introduction to numerical analysis (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 0471624896 .
Источник —

Same as Алгоритм нахождения корня n-ной степени