Interested Article - Двойной ряд

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда .

Определение

Пусть числовая последовательность ; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности

Вообще, для обозначения ряда используется символ:

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:

  • числовой двойной ряд сходится , если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд сходится и имеет сумму , если, каково бы ни было , найдутся такие числа и , что при и выполняется неравенство . Также условие сходимости двойного ряда к сумме можно записать в виде

.

  • числовой двойной ряд расходится , если расходится последовательность его частичных сумм;
  • числовой двойной ряд сходится абсолютно , если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда :

Свойства

  • Пусть в сходящемся двойном ряде с суммой сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах и . Тогда . Аналогично, если существуют пределы и . Тогда .
  • Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде сходятся все строки и все столбцы . Обозначим сумму строк .

Тогда:

    • - е остатки строк образуют сходящийся ряд с некоторой суммой .
    • Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов необходимо и достаточно существование предела .
    • Для равенства необходимо и достаточно, чтобы было .

Примечания

  1. , с. 234.
  2. , с. 238.
  3. , с. 239.

Литература

Источник —

Same as Двойной ряд