Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов , введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро . Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k . Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k , в том числе и на комплексные . Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Определение

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ называется сходящимся по Чезаро порядка k или ( C , k )-сходящимся с суммой S , если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S,}$

где ${\displaystyle A_{n},E_{n}}$ определяются как коэффициенты разложения

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{-1-\alpha }.}$

Свойства

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S , если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}s_{j}=S,}$ где ${\displaystyle s_{j}=a_{1}+\dots +a_{j}}$ — частичные суммы ряда.

Методы ( C , k ) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при ${\displaystyle k\geqslant 0}$ и не являются регулярными при ${\displaystyle k<0}$ . Сила метода возрастает с увеличением k : если ряд является сходящимся для k , то он является сходящимся с той же суммой для k ´ при k ´ > k > −1.

При k < −1 это свойство не сохраняется.

Если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ является ( C , k )-сходящимся, то ${\displaystyle a_{n}=o(n^{k})}$ .

Сходимость по Чезаро ( C , k ) равносильна и совместима со ( H , k ) и ( R , n , k ) (при k > 0). При любом k > −1 метод ( C , k ) слабее метода Абеля .

Пример

Пусть a _n = (−1) ^{n +1} для n ⩾ 1. То есть, { a _n } является последовательностью

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots .}$

Последовательность частичных сумм { s _n } имеет вид

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots ,}$

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {( s ₁ + … + s _n )/ n } являются

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,}$

и в общей сложности

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\dots +s_{n}}{n}}=1/2.}$

Поэтому ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру
• 1 − 2 + 3 − 4 + …
• Чезаровское среднее

Примечания

Ссылки

• (англ.) на сайте PlanetMath .

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин , 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления . Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .