А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина ) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей : всякая последовательность идеалов ${\displaystyle p_{1}\supset p_{2}\supset \dots \supset p_{n}\supset \dots }$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{n}=p_{n+1}=\ldots }$

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым.

Согласно теореме Артина — Веддербёрна , все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом . В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение нётерова кольца . Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым.

Примеры

• Артинова область целостности является полем .
• Кольцо с конечным числом идеалов (в частности, конечное кольцо ) является артиновым.
• Если I — ненулевой идеал в дедекиндовом кольце , то факторкольцо по I является артиновым кольцом главных идеалов .
• Для любого ${\displaystyle n\geq 1}$ полное кольцо матриц ${\displaystyle M_{n}(R)}$ над левым артиновым (соотв. левым нётеровым) кольцом R является левым артиновым (соотв. левым нётеровым) .

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны:

• A артиново;
• A — конечное произведение артиновых локальных колец ;
• Размерность A равна нулю;
• Спектр A является дискретным .

Примечания

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М. :Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М. :ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра. — М. :Мир, 1968
• Cohn, Paul Moritz. Basic algebra: groups, rings, and fields (англ.) . — Springer, 2003. — ISBN 978-1-85233-587-8 .