Треугольная функция.
Свёртка двух прямоугольных импульсов порождает треугольный импульс.
Треугольная функция
,
треугольный импульс
— специальная математическая
функция
, определяемая как
кусочно-линейная
в виде:
tri
(
t
)
=
∧
(
t
)
=
{
1
−
|
t
|
;
|
t
|
<
1
0
otherwise
,
{\displaystyle \operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1-|t|;&|t|<1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}},}
или через
свёртку
двух единичных
прямоугольных функций
:
tri
(
t
)
=
rect
(
t
)
∗
rect
(
t
)
=
d
e
f
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
τ
)
⋅
r
e
c
t
(
t
−
τ
)
d
τ
=
∫
−
∞
∞
r
e
c
t
(
τ
)
⋅
r
e
c
t
(
τ
−
t
)
d
τ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau .\end{aligned}}}
Применения
Функция находит применение в
обработке сигналов
и радиосвязи, представляя собой идеализированный сигнал, являющийся составной частью более сложных реальных сигналов. Также применяется в
широтно-импульсной модуляции
для передачи и детектирования цифровых сигналов.
Используется в спектральном анализе по ограниченной выборке данных как
оконная функция
, в этом случае её обычно называют «окном Бартлета».
Подобные функции используются в
методе конечных элементов
, в качестве
базиса
первого порядка
.
Свойства
Преобразование Фурье
треугольного импульса:
1
2
π
∫
−
∞
∞
tri
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\textrm {tri}}(t)e^{-i\omega t}\,dt}
=
2
π
(
sinc
(
ω
2
π
)
2
π
)
2
{\displaystyle ={\sqrt {2\pi }}\left({\frac {{\textrm {sinc}}({\frac {\omega }{2\pi }})}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{2}}
=
1
2
π
⋅
s
i
n
c
2
(
ω
2
π
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)}
∫
−
∞
∞
t
r
i
(
t
)
⋅
e
−
i
2
π
f
t
d
t
=
s
i
n
c
2
(
f
)
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {tri} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt\ =\ \mathrm {sinc} ^{2}(f)}
Эти результаты следуют из преобразования Фурье прямоугольной функции и свойства свёртки преобразований Фурье двух сигналов.
См. также
Примечания
Соловейчик Ю. Г.
,
Рояк М. Э.
,
Персова М. Г.
Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. —
ISBN 978-5-7782-0749-9
.