Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных .

Само утверждение о равенстве смешанных производных в различных источниках упоминается как теорема Шварца , теорема Клеро или теорема Янга .

Теорема

Определение смешанной производной

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция ${\displaystyle f}$ многих переменных:

${\displaystyle (1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})}$

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов ${\displaystyle x_{i}}$ , считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

${\displaystyle (2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{n}=const}}$

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение ${\displaystyle \phi }$ в общем случае зависит от тех же переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n}}$ , что и оригинальная функция ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle (3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})}$

Если функция ${\displaystyle \phi }$ окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу ${\displaystyle x_{j}}$ :

${\displaystyle (4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}}$

Если ${\displaystyle j\neq i}$ , то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной .

Основа теоремы

Для гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

${\displaystyle (5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}}$

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкости

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

• 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
• 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:

${\displaystyle (6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i}},\;{\partial f \over \partial x_{j}},\;{\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}},{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}}$

• 3. Поскольку для фиксированных индексов ${\displaystyle i,j}$ все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент ${\displaystyle x_{k}}$ является константой, то функция ${\displaystyle f}$ (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{j-1},x_{j+1},\dots )}$

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремы

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ на ${\displaystyle x,y}$ , то есть будем рассматривать такую функцию двух переменных:

${\displaystyle (7)\qquad f=f(x,y)}$

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

${\displaystyle (8)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial x},\;f_{y}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial y}}$

${\displaystyle (8a)\qquad f_{xy}={\partial ^{2}f \over \partial x\partial y},\;f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}}$

Пусть в точке ${\displaystyle (x,y)}$ существует смешанная производная:

${\displaystyle (9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x,y) \over \Delta x}}$

Предположим, что смешанная производная ${\displaystyle f_{xy}}$ существует в точке ${\displaystyle (x,y)}$ , а также существует первая производная ${\displaystyle f_{y}(x,y)}$ вдоль (горизонтальной) прямой ${\displaystyle y=const}$ .

Далее, разность производных равна производной от разности, поэтому превращаем формулу (9) в:

${\displaystyle (10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\right]}$

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разность дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разность в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определённого интеграла от производной:

${\displaystyle (11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi }$

Нужно, чтобы существовала частная производная ${\displaystyle f_{x}}$ вдоль прямой ${\displaystyle y=const}$ .

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

${\displaystyle (12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \over \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \right)}$

Как видно, надо, чтобы частная производная ${\displaystyle f_{x}}$ существовала не только на прямой ${\displaystyle y=const}$ , но в некоторой двухмерной окрестности точки ${\displaystyle (x,y)}$ .

Далее, разность интегралов равна интегралу от разности, причём под знак интеграла можно внести постоянный множитель ${\displaystyle {1 \over \Delta y}}$ :

${\displaystyle (13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}d\xi }$

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разность интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

${\displaystyle (14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )}$

Средняя точка является функцией:

${\displaystyle (14a)\qquad \eta =\eta (\xi ,\Delta y)}$ ,

значения которой лежат в интервале (если, например, ${\displaystyle \Delta y>0}$ )

${\displaystyle (14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]}$

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной ${\displaystyle f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}}$ в некоторой двухмерной окрестности точки ${\displaystyle (x,y)}$ .

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке ${\displaystyle (x,y)}$ как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке ${\displaystyle (x,y)}$ :

${\displaystyle (15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)}$

Смешанная производная ${\displaystyle f_{yx}}$ существует в двухмерной окрестности точки ${\displaystyle (x,y)}$ и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13):

${\displaystyle (16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi }$

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое ${\displaystyle f_{yx}(x,y)}$ является константой по переменной интегрирования ${\displaystyle \xi }$ , то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берётся как интеграл от константы:

${\displaystyle (17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi =}$

${\displaystyle =f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi }$

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

${\displaystyle (18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=}$

${\displaystyle =f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi }$

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмём произвольное положительное число ${\displaystyle \epsilon }$ . Непрерывность смешанной производной ${\displaystyle f_{yx}}$ в точке ${\displaystyle (x,y)}$ означает, что существует такое положительное число ${\displaystyle \delta }$ , что для каждой точки ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ внутри квадрата ${\displaystyle |\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta }$ справедливо неравенство:

${\displaystyle (19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon }$

Если мы возьмём положительные числа ${\displaystyle \Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta }$ , то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

${\displaystyle (20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x}^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x}$

Обозначим это слагаемое ${\displaystyle L}$

${\displaystyle (21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon }$

Аналогично (если взять ${\displaystyle -\epsilon <\Delta x<0}$ ), имеем оценку снизу:

${\displaystyle (22)\qquad L\geq -\epsilon }$

Поскольку положительное число ${\displaystyle \epsilon }$ может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует ${\displaystyle L=0}$ . Теорема доказана.

Уточнение гладкости функции

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например, ${\displaystyle f_{xy}}$ ) в точке, а также существование второй смешанной производной ${\displaystyle f_{yx}}$ в двумерной окрестности точки и её непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной ${\displaystyle f_{y}}$ вдоль отрезка прямой ${\displaystyle y=const}$ и существование производной ${\displaystyle f_{x}}$ в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование ${\displaystyle f_{xy}}$ в точке ${\displaystyle (x,y)}$ следует из двух фактов: (а) существует производная ${\displaystyle f_{y}}$ вдоль отрезка прямой ${\displaystyle y=const}$ , проходящей через точку ${\displaystyle (x,y)}$ , (б) смешанная производная ${\displaystyle f_{yx}}$ существует и непрерывна в этой точке.

Пример

Рассмотрим функцию

${\displaystyle (23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)}$

где функция Дирихле ${\displaystyle \chi (y)}$ равна нулю в рациональных точках ${\displaystyle y={m \over n}}$ и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой ${\displaystyle y=0}$ и разрывна во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

${\displaystyle (24)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f \over \partial x}=y}$

а также одна из смешанных производных:

${\displaystyle (25)\qquad f_{yx}(x,y)={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}=1}$

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой ${\displaystyle y=0}$ :

${\displaystyle (26)\qquad f_{y}(x,0)=x}$

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

${\displaystyle (27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x,0) \over \Delta x}=1}$

Как видим, для точек прямой ${\displaystyle y=0}$ условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

Контрпример

Рассмотрим функцию двух переменных ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle (28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

где буквами ${\displaystyle a,b}$ обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задаёт непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат ${\displaystyle x=0,\;y=0}$ . Мы можем доопределить функцию ${\displaystyle f(x,y)}$ в начале координат

${\displaystyle (29)\qquad f(0,0)=0}$

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ ):

${\displaystyle (30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi +\phi _{0})|^{3}}$

Покажем, что для этой доопределённой функции ${\displaystyle f(x,y)}$ смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные ${\displaystyle f_{x},\,f_{y}}$ . Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

${\displaystyle (31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|}$

${\displaystyle (31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|}$

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции ${\displaystyle f(x,y)}$ в точке плоскости, отличной от начала координат ( ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ):

${\displaystyle (32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by| \over r}-{x \over r^{3}}|ax+by|^{3}}$

${\displaystyle (33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by| \over r}-{y \over r^{3}}|ax+by|^{3}}$

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

${\displaystyle (32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{x\rightarrow 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0}$

Аналогично

${\displaystyle (33a)\qquad f_{y}(0,0)=0}$

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

${\displaystyle (34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x}=\lim _{x\rightarrow 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|}$

Аналогичное вычисление даёт:

${\displaystyle (35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|}$

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

${\displaystyle (36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|}$

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

${\displaystyle f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \over x^{2}+y^{2}}}$

Упрощенное доказательство для аналитических функций

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

${\displaystyle (37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0})^{m}}$

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдём первые производные:

${\displaystyle (38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_{0})^{m}}$

${\displaystyle (39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0})^{m-1}}$

Повторное дифференцирование (38) и (39) даёт одну и ту же формулу для обеих смешанных производных:

${\displaystyle (40)\qquad f_{xy}=f_{yx}=\sum _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_{0})^{m-1}}$

См. также

• Смешанная частная производная

Литература

• Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics (неопр.) . — Springer, 2001. — ISBN 978-1556080104 .
• Kleinert, H. (англ.) . — World Scientific , 2008. — ISBN 978-981-279-170-2 .