Пусть ${\displaystyle y=f(x)}$ — функция от аргумента ${\displaystyle x}$ в некотором интервале ${\displaystyle (a,b)}$ . Если в уравнении ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y}$ считать аргументом, а ${\displaystyle x}$ — функцией, то возникает новая функция ${\displaystyle x=\phi (y),}$ где ${\displaystyle f[\phi (y)]\equiv y,}$ — функция, обратная данной .

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции ${\displaystyle y(x)}$ с производной ${\displaystyle y'_{x}(x)}$ , отличной от нуля, производная ${\displaystyle x'_{y}(y)}$ обратной функции ${\displaystyle x(y)}$ равна обратной величине производной данной функции в точке ${\displaystyle x(y)}$ , то есть

${\displaystyle x'_{y}(y)={\frac {1}{y'_{x}(x(y))}}}$

Примеры

• ${\displaystyle y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

• ${\displaystyle y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.}$

См. также

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

Примечания

Литература

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0