Interested Article - Модель Хаббарда

Моде́ль Ха́ббарда — приближение, используемое в физике твёрдого тела для описания перехода между проводящим и диэлектрическим состояниями. Названа в честь . Является простейшей моделью, описывающей взаимодействие частиц в решётке . Её гамильтониан содержит только два слагаемых: кинетический член, соответствующий туннелированию («перескокам») частиц между узлами решётки, и слагаемое, соответствующее внутриузельному взаимодействию. Частицы могут быть фермионами , как в исходной работе Хаббарда, а также бозонами .

Модель Хаббарда хорошо описывает поведение частиц в периодическом потенциале при достаточно низких температурах, когда все частицы находятся в нижней блоховской зоне , а дальними взаимодействиями можно пренебречь. Если учитывается взаимодействие между частицами на разных узлах, то такую модель часто называют «расширенной моделью Хаббарда».

Впервые модель была предложена (в 1963 году ) для описания электронов в твёрдых телах . С тех пор особенно интересна при изучении высокотемпературной сверхпроводимости . Позднее стала использоваться при описании поведения ультрахолодных атомов в оптических решётках.

При рассмотрении электронов в твёрдых телах , модель Хаббарда можно считать усложнением модели сильно-связанных электронов , которая учитывает только перескоковый член гамильтониана. При сильных взаимодействиях они могут выдавать результаты, значительно отличающиеся друг от друга. При этом модель Хаббарда точно предсказывает существование так называемых изоляторов Мотта. В них проводимость отсутствует из-за сильного отталкивания между частицами.

Теория

Модель Хаббарда основана на приближении сильно-связанных электронов . В приближении сильной связи электроны изначально занимают стандартные орбитали в атомах — узлах решётки, а затем перескакивают на другие атомы в процессе проведения тока. Математически это представляется т. н. «перескоковым интегралом». Его можно рассматривать как физический принцип, благодаря которому появляются электронные зоны в кристаллических материалах. Однако более общие зонные теории не прибегают к рассмотрению взаимодействия между электронами. Кроме перескокового интеграла, объясняющего проводимость материала, модель Хаббарда содержит также т. н. «внутриузельное отталкивание», соответствующее кулоновскому отталкиванию между электронами . Это приводит к конкуренции между перескоковым интегралом, зависящим от взаимного расположения узлов решётки, и внутриузельным отталкиванием, которое от расположения атомов не зависит. Благодаря этому факту модель Хаббарда объясняет переход проводник - диэлектрик в оксидах некоторых переходных металлов . При нагревании такого материала расстояние между ближайшими соседними узлами в нём увеличивается, перескоковый интеграл уменьшается, и внутриузельное отталкивание становится доминирующим фактором.

Одномерная цепочка атомов водорода

В атоме водорода имеется только один электрон на т. н. s-орбитали. Этот электрон может быть описан своим спином : «спин вверх» ( $\uparrow$ ), и «спин вниз» ( $\downarrow$ ). На s-орбитали может находиться максимум два электрона с противоположными спинами (см. Принцип Паули ).

Рассмотрим одномерную цепочку атомов водорода. В соответствии с зонной теорией , электроны на 1s-орбитали должны сформировать непрерывную энергетическую зону , заполненную ровно наполовину, и поэтому являющуюся зоной проводимости . То есть согласно обычной зонной теории одномерная цепочка атомов водорода должна быть проводящей.

Но теперь представим себе, что расстояние между соседними атомами постепенно увеличивается. В какой-то момент цепочка должна перестать проводить ток.

С другой стороны, в представлении модели Хаббарда, гамильтониан системы содержит два слагаемых. Первое из них — перескоковый интеграл « t », отвечающий за кинетическую энергию электронов . Второе — внутриузельное отталкивание « U », соответствующее потенциальной энергии кулоновского отталкивания электронов . Записанный во вторичном квантовании гамильтониан Хаббарда выглядит следующим образом:

H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }^{}+h.c.)+U\sum _{i=1}^{N}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow },

где $\langle i,j\rangle$ означает ближайшие узлы в решётке, h. c. — эрмитово сопряжённое слагаемое.

Без второго слагаемого гамильтониан Хаббарда становится гамильтонианом сильной связи из стандартной зонной теории .

Если же второе слагаемое учитывается, мы получаем более реалистичную модель, объясняющую переход из проводящего состояния в диэлектрическое при увеличении межатомного расстояния. В пределе бесконечного межатомного расстояния (или без учёта первого члена гамильтониана ) цепочка разбивается на совокупность изолированных магнитных моментов .