В коммутативной алгебре идеал Q коммутативного кольца A называется примарным , если он не совпадает со всем кольцом, и для любого элемента Q вида xy либо x , либо y ⁿ для некоторого n>0 также является элементом Q . Например, в кольце целых чисел Z идеал примарен тогда и только тогда, когда он имеет вид ( p ⁿ ), где p — простое число .

Примарные идеалы важны в теории коммутативных колец, потому что любой идеал нётерова кольца имеет примарное разложение, то есть может быть записан как пересечение конечного числа примарных идеалов. Этот результат известен как теорема Ласкера — Нётер .

Примарные идеалы обычно рассматриваются в теории коммутативных колец, поэтому в дальнейших примерах кольцо предполагается коммутативным и с единицей.

Примеры и свойства

• Любой простой идеал является примарным.
• Идеал примарен тогда и только тогда, когда в факторкольце по нему любой делитель нуля является нильпотентным .
• Если Q — примарный идеал, то его радикал P является простым. В этом случае Q называется P -примарным.
• Если P — максимальный простой идеал, то любая степень P — примарный идеал. Однако не все P -примарные идеалы являются степенями P , например, идеал ( x , y ² ) является P -примарным для P = ( x , y ) в кольце k [ x , y ], но не является степенью P .
• Если A — нётерово кольцо и P — простой идеал, то ядро ${\displaystyle A\to A_{P}}$ отображения из A в его локализацию по идеалу P является пересечением всех P -примарных идеалов.

Примечания

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4 .
• Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), "Generalized primary rings and ideals", Math. Pannon. , 17 (1): 17—28, ISSN , MR