Ме́тод обра́тной зада́чи рассе́яния — аналитический метод решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Основан на связи нелинейного уравнения с данными рассеяния семейства вспомогательных линейных дифференциальных операторов , дающей возможность по эволюции данных рассеяния восстановить эволюцию решения нелинейного уравнения.

Метод представляет собой аналог метода Фурье решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных . Роль преобразования Фурье при этом играет отображение коэффициентных функций линейного дифференциального оператора в совокупность данных рассеяния . При применении метода необходимо решать обратную задачу рассеяния, которая состоит в восстановлении линейного дифференциального оператора по его данным рассеяния.

В основе метода лежит представление исследуемого нелинейного уравнения в виде условия совместности системы линейных уравнений, называемое представлением Лакса .

Для интегрируемых методом обратной задачи уравнений характерно существование специальных точных решений — солитонов («уединённых волн»).

История

Метод обратной задачи рассеяния берет начало в 1967 году в работе К. С. Гарднера, Дж. М. Грина, М. Д. Крускала и Р. М. Миуры, применивших его к уравнению Кортевега — де Фриза (КдФ) . Это уравнение было выведено в конце XIX века для описания волн на мелкой воде. Тогда же были получены некоторые его точные решения — солитоны . Интерес к солитонам возобновился в связи с исследованиями по физике плазмы в 60-х годах XX века. В 1965 году М. Д. Крускал и Н. Забужский обнаружили путём численного моделирования, что солитоны уравнения Кортевега — де Фриза сталкиваются упруго (эффект, совершенно не характерный для линейных волн) . Этот результат дал толчок к новым аналитическим исследованиям, которые в результате привели к возникновению метода обратной задачи.

Дальнейшее развитие метод получил в работе П. Лакса, который вскрыл лежащий в основе алгебраический механизм . Позднее К. С. Гарднер, В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев построили теорию уравнения Кортевега — де Фриза как гамильтоновой системы .

В 1971 году В. Е. Захаров и А. Б. Шабат применили метод обратной задачи к другому важному для физики уравнению — нелинейному уравнению Шрёдингера . Вскоре М. Вадати, используя идеи прямой и обратной задачи рассеяния, предложил решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ), а М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур проделали то же самое для уравнения синус-Гордона . Затем М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур предложили схему, позволяющую по заданной задаче рассеяния построить иерархию нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом обратной задачи .

В дальнейшем при помощи метода обратной задачи рассеяния было построено решение для разностного аналога уравнения Кортевега — де Фриза — цепочки Тоды , изучены периодические и почти периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза (до этого речь шла о решениях, быстро убывающих на бесконечности), получены решения других нелинейных уравнений .

Описание метода на примере уравнения Кортевега — де Фриза

Связь с оператором Штурма — Лиувилля

Уравнение Кортевега — де Фриза

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

является условием совместности переопределённой системы линейных уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}(L-k^{2})\psi =0,\\\psi _{t}+A\psi =0,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x,t)}$

— оператор Штурма — Лиувилля,

${\displaystyle A=4{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}-3\left(u{\frac {d}{dx}}+{\frac {d}{dx}}u\right),}$

и эквивалентно следующему операторному соотношению, называемому представлением Лакса :

${\displaystyle L_{t}=[L,A]=LA-AL.}$

Прямая задача рассеяния

Спектр оператора Штурма — Лиувилля (оператора Шрёдингера)

${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x),\quad -\infty <x<\infty }$

с потенциалом ${\displaystyle u(x)}$ , достаточно быстро убывающим при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ , состоит из двух компонент: непрерывной, включающей положительную полуось ${\displaystyle k^{2}>0}$ , и конечного числа отрицательных дискретных собственных значений ${\displaystyle -p_{n}^{2},\,n=1,2,\dots ,N}$ . Для характеристики непрерывной части спектра вводится решение уравнения ${\displaystyle L\psi =k^{2}\psi }$ , определяемое асимптотическими граничными условиями

${\displaystyle \psi (x,k)\sim T(k)e^{-ikx},\quad x\to -\infty ,}$

${\displaystyle \psi (x,k)\sim e^{-ikx}+R(k)e^{ikx},\quad x\to +\infty .}$

Данные условия однозначно определяют решение ${\displaystyle \psi (x,k)}$ , а также коэффициенты прохождения ${\displaystyle T(k)}$ и отражения ${\displaystyle R(k)}$ . Собственным значениям ${\displaystyle -p_{n}^{2}}$ отвечают собственные функции ${\displaystyle f_{n}(x)}$ и нормировочные константы

${\displaystyle \rho _{n}=\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{n}^{2}(x)\,dx\right]^{-1}.}$

Данными рассеяния оператора ${\displaystyle L}$ называется набор величин:

${\displaystyle J=\left\{R(k),\,-\infty <k<+\infty ;\,p_{n},\rho _{n},\,n=1,2,\dots ,N\right\}.}$

Прямая задача рассеяния заключается в определении данных рассеяния по заданному потенциалу ${\displaystyle u}$ .

Обратная задача рассеяния

Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении оператора ${\displaystyle L}$ (а именно, его потенциала ${\displaystyle u}$ ) по данным рассеяния. Один из основных методов решения обратной задачи рассеяния основан на уравнении Гельфанда — Левитана — Марченко :

${\displaystyle K(x,y)+M(x+y)+\int \limits _{x}^{\infty }K(x,z)M(z+y)\,dz=0,\quad y>x.}$

Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции ${\displaystyle K(x,y)}$ (при каждом фиксированном ${\displaystyle x}$ ). Оно связывает функцию ${\displaystyle M(x)}$ , которая строится по данным рассеяния:

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(k)e^{ikx}\,dk+\sum _{n=1}^{N}\rho _{n}e^{-p_{n}x}}$

с функцией ${\displaystyle K(x,y)}$ , по которой можно найти потенциал:

${\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).}$

Эволюция данных рассеяния

Если функция ${\displaystyle u(x,t)}$ меняется во времени как решение уравнения Кортевега — де Фриза, то эволюция данных рассеяния во времени имеет вид

${\displaystyle R(k,t)=R(k,0)e^{8ik^{3}t},\quad p_{n}(t)=p_{n}(0),\quad \rho _{n}(t)=\rho _{n}(0)e^{8p_{n}^{3}t}.}$

Верно и обратное .

Схема метода

Решение задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза методом обратной задачи рассеяния разбивается на три этапа:

1. Решить прямую задачу рассеяния: по заданному начальному условию ${\displaystyle u(x,0)}$ найти данные рассеяния ${\displaystyle J(0)}$ .
2. По ${\displaystyle J(0)}$ найти ${\displaystyle J(t)}$ , используя формулы для эволюции данных рассеяния.
3. Решить обратную задачу рассеяния: по данным рассеяния ${\displaystyle J(t)}$ восстановить функцию ${\displaystyle u(x,t)}$ — искомое решение задачи Коши.

Стоит отметить, что все этапы схемы связаны с изучением линейных задач .

Солитоны

Прямая и обратная задачи рассеяния решаются точно для безотражательных потенциалов , для которых коэффициент отражения ${\displaystyle R(k)}$ тождественно равен нулю. В этом случае решение обратной задачи имеет вид

${\displaystyle u(x)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x),}$

где ${\displaystyle A(x)}$ — ${\displaystyle N\times N}$ матрица с элементами

${\displaystyle A_{nm}=\delta _{nm}+{\frac {\rho _{n}}{p_{n}+p_{m}}}e^{-(p_{n}+p_{m})x}}$

(здесь ${\displaystyle \delta _{nm}}$ — символ Кронекера ). Свойство безотражательности сохраняется по времени. Временная динамика безотражательных потенциалов получается заменой

${\displaystyle \rho _{n}\,\to \,\rho _{n}e^{8p_{n}^{3}t}}$

в определении матрицы ${\displaystyle A}$ . Простейший безотражательный потенциал с одним дискретным уровнем ${\displaystyle p_{1}=\varkappa }$ называется солитоном и имеет вид

${\displaystyle u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{\operatorname {ch} ^{2}\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}},}$

где введено обозначение

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2\varkappa }}\ln {\frac {\rho _{1}}{2\varkappa }}.}$

Интегрируемые уравнения

• Уравнение Кортевега — де Фриза
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Уравнение синус-Гордона
• Цепочка Тоды
• Уравнение Кадомцева — Петвиашвили

См. также

• Теория интегрируемых систем

Примечания

Литература

• Абловиц М., Сигур Х. . Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ.. — М. : Мир , 1987. — 479 с.
• Бутерин С. А., Игнатьев М. Ю., Кабанов С. Н., Курышова Ю. В., Лукомский Д. С., Поликарпов С. И. . . — Саратов: Саратовский гос. ун-т , 2013. — 115 с.
• Захаров В. Е. // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая российская энциклопедия , 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — С. 365−366. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3 .
• Захаров В. Е. , Манаков С. В., Новиков С. П. , Питаевский Л. П. . Теория солитонов: метод обратной задачи. — М. : Наука , 1980. — 320 с.
• Калоджеро Ф., Дегасперис А. . Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ.. — М. : Мир , 1985. — 472 с.
• Лэм Дж. мл. . Введение в теорию солитонов: Пер. с англ.. — М. : Мир , 1983. — 294 с.
• Марченко В. А. . Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка , 1977.