Представление Лакса — используемое в теории интегрируемых систем представление уравнений системы в виде уравнения Лакса для пары зависящих от времени операторов, называемой парой Лакса . Преимущество такого представления в том, что если удалось записать уравнения в таком виде, то автоматически получается набор первых интегралов движения.

Пара Лакса — пара операторов ${\displaystyle L(t),P(t)}$ , зависящих от времени, действующих на заданном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса :

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L]}$ .

В таком случае величины ${\displaystyle \operatorname {tr} L^{k}}$ являются (возможно не все независимыми) первыми интегралами движения.

Представление изначально предложено Питером Лаксом в контексте теории солитонов . Например, уравнение Кортевега — де Фриза :

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}$

может быть представлено посредством пары:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}\end{aligned}}}$ .

Множество ${\displaystyle \operatorname {tr} L^{k}}$ даёт при этом счётный набор сохраняющихся величин.

Многие другие системы также могут быть записаны в виде представления Лакса, например уравнение синус-Гордона , цепочка Тоды , , уравнение Кадомцева — Петвиашвили и так далее.

Литература

• P. Lax. // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1968. — Т. 21 , вып. 5 . — С. 467–490 . — doi : .
• P. Lax, R. S. Phillips. // Bull. Am. Math. Soc. . — 1980. — Т. 2 , вып. 2 .