Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики (раздела математики ), рассматривающая существование, построение и свойства ^* , структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии . Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах , а в другом случае могут отражать расположение элементов в судоку .

Теорию комбинаторных схем можно использовать при планировании экспериментов . Некоторые из основных комбинаторных схем приведены в работе Рональда Фишера по теории биологических экспериментов. Сейчас комбинаторные схемы можно найти в широком ряде областей, включая конечную геометрию , создание графиков турниров , лотереи , математическую биологию , разработку и анализ алгоритмов , вычислительные сети , и криптографию .

Определение

Обозначим ${\displaystyle v}$ - множество элементов ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{v}}$ . Рассмотрим подмножества этого множества ${\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{b}}$ . Каждое подмножество ${\displaystyle M_{j}}$ называется блоком, а число элементов множества ${\displaystyle M_{j}}$ в нем называется объемом блока и обозначается как ${\displaystyle k_{j}}$ . Пусть ${\displaystyle r_{i}}$ - число подмножеств ${\displaystyle M}$ , содержащих этот элемент. Число повторений (неупорядоченных пар) обозначается как ${\displaystyle \lambda _{p}}$ . Тогда множество блоков ${\displaystyle M_{1},M_{2},...,M_{b}}$ образует комбинаторную схему (или блок-схему) с параметрами ${\displaystyle v,b,r_{i},k_{j},\lambda _{p}}$ .

Пример

Если имеется n людей, можно ли составить из них множества, такие, что каждый человек принадлежит по меньшей мере одному множеству, каждая пара принадлежит в точности одному множеству, каждые два множества имеют в пересечении только одного человека и ни одно из множеств не состоит из всех людей, всех людей без одного или в точности одного человека? Ответ зависит от n .

Ответ положителен, только если n имеет вид q ² + q + 1. Сложнее доказать, что решение существует, если q является степенью простого числа . Существует гипотеза, что других решений нет. Было доказано, что если решение существует для q , сравнимых с 1 или 2 по модулю 4, то q является суммой двух полных квадратов . Этот результат, теорема Брука — Райзера — Човла , был доказан путём комбинации методов построения, основывающихся на конечных полях , и квадратичных формах .

Когда такая структура существует, она называется конечной проективной плоскостью . Это показывает, как пересекаются теория конечных геометрий и комбинаторика. В случае q = 2, проективная плоскость называется плоскостью Фано .

История

Комбинаторные схемы известны ещё со времён античности в виде квадрата Ло Шу , который являлся ранней версией магического квадрата . Комбинаторные схемы развивались с развитием комбинаторики начиная с 18-го столетия, например, в виде латинских квадратов в 18-м веке и систем Штейнера в 19-м веке. Комбинаторные схемы популярны также в занимательной математике , как, например, в задаче Киркмана о школьницах (1850), и практических задачах, таких как составление расписания круговых турниров (решение опубликовано в 1880-х годах). В 20-м веке комбинаторные схемы были применены к планированию экспериментов , конечным геометриям и и привели к возникновению .

Фундаментальные комбинаторные схемы

Классическое ядро предмета комбинаторных схем строится вокруг сбалансированных неполноблочных схем (en:Balanced Incomplete Block Design, BIBD), матриц и схем Адамара , симметричных BIBD , латинских квадратов , разрешимых BIBD , и попарно сбалансированных схем (en: Pairwise Balanced Design, PBD) . Другие комбинаторные схемы связаны с перечисленными или основываются на этих схемах.

• Сбалансированная неполноблочная схема (BIBD), которую для краткости называют блок-схемами , это набор B из b подмножеств (которые называются блоками ) конечного множества X из v элементов, такой, что любой элемент множества X содержится в некотором числе r блоков, каждый блок имеет одинаковое число элементов (= k ) и каждая пара различных элементов появляется в одинаковом числе ( ${\displaystyle =\lambda }$ ) блоков . Схемы BIBD известны также как 2-схемы и часто обозначаются как ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$ схемы. В качестве примера, для случая ${\displaystyle \lambda =1}$ и b = v мы получаем проективную плоскость — X в этом случае является множеством точек на плоскости, а блоки являются прямыми.
• Симметричная сбалансированная неполноблочная схема или SBIBD (en:Symmetric Balanced Incomplete Block Design) — это BIBD, в которой v = b (число точек равно числу блоков). Это наиболее важный и хорошо изученный подкласс BIBD. Проективные плоскости, биплоскости и 2-схемы Адамара являются SBIBD-схемами. Эти схемы представляют интерес как экстремальные примеры неравенства Фишера ( ${\displaystyle b\geqslant v}$ ).
• Разрешимая сбалансированная неполная блок-схема — это BIBD, блоки которого могут быть разбиты на множества (называемые параллельными классами ), каждое из которых образует разбиение точек BIBD . Множество параллельных классов называется разрешением схемы. Решение знаменитой задачи о 15 школьниках является разрешением BIBD с v = 15, k = 3 и ${\displaystyle \lambda =1}$ .
• — это r × n ( r ≤ n ) матрица , имеющая в качестве элементов числа 1, 2, 3, ..., n (или любое другое множество n различных символов), в которой никакое число не появляется дважды в любой строке или столбце. Латинский прямоугольник с размерами n × n называется латинским квадратом . Если r < n , то можно добавить n − r строк к латинскому прямоугольнику с размерами r × n , чтобы сформировать латинский квадрат, используя теорему Холла о свадьбах theorem .

Говорят, что два латинских квадрата порядка n ортогональны если множество всех упорядоченных пар , состоящих из соответствующих элементов двух квадратов, состоит из n ² различных пар (то есть встречаются все возможные упорядоченные пары). Множество латинских квадратов одного порядка образует множество взаимно ортогональных латинских квадратов (en: Mutually Orthogonal Latin Squares, MOLS)), если любая пара латинских квадратов в множестве ортогональна. Может существовать максимум n − 1 квадратов в таком множестве квадратов порядка n . Множество n − 1 квадратов MOLS порядка n можно использовать для построения проективной плоскости порядка n (и наоборот).

• ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$ — это подмножество D группы G порядка v , имеющее размер k , а любой не равный единице элемент группы G может быть представлен в виде произведения d ₁ d ₂ ⁻¹ элементов D в точности ${\displaystyle \lambda }$ способами (если G представлено операцией умножения) .

Если D — разностное множество и g принадлежит G , то ${\displaystyle g\mathbf {D} ={gd\colon d\in \mathbf {D} }}$ также является разностным множеством и называется переносом множества D . Множество переносов разностного множества D образует симметричную блок-схему . В такой схеме имеется v элементов и v блоков. Каждый блок схемы состоит из k точек, каждая точка содержится в k блоках. Любые два блока имеют в точности ${\displaystyle \lambda }$ общих элементов и любые две точки появляются вместе в ${\displaystyle \lambda }$ блоках. Эта схема SBIBD называется развитием множества D .

В частности, если ${\displaystyle \lambda =1}$ , разностное множество образует проективную плоскость . Например, разностное множество (7,3,1) над группой ${\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} }$ ( абелева группа с аддитивной записью) — это подмножество {1,2,4}. Развитие этого разностного множества даёт плоскость Фано .

Поскольку любое разностное множество даёт SBIBD, множество параметров должно удовлетворять теореме Брука – Райзера – Човла , но не любая SBIBD-схема даёт разностное множество.

• Матрица Адамара порядка m — это m × m матрица H с элементами ±1, такая, что HH ^⊤ = m E _m , где H ^⊤ является транспонированной к H , а E _m — m × m единичная матрица . Матрицу Адамара можно привести к стандартизованной форме (то есть преобразовать в эквивалентную матрицу Адамара), в которой элементы первой строки и первого столбца равны +1. Если порядок m > 2, то m должно делиться на 4.

Если дана матрица Адамара порядка 4 a в стандартизованной форме, удалим первую строку и первый столбец, а затем заменим все −1 на 0. Получившаяся 0–1 матрица M является матрицей инцидентности симметричной ${\displaystyle 2-(4a-1,2a-1,a-1)}$ схемы, называемой адамаровой 2-схемой . Это построение обратимо, так что матрица инцидентности симметричной 2-схемы с такими параметрами может быть использована для получения матрицы Адамара порядка 4 a . В случае a = 2 мы получаем уже знакомую плоскость Фано (как 2-схему Адамара).

• Попарно сбалансированная схема (en:Pairwise Balanced Design, PBD) — это множество X вместе с семейством подмножеств X (не обязательно одного размера и подмножества могут быть одинаковыми), таком, что любая пара различных элементов из X содержится точно в ${\displaystyle \lambda }$ (положительное число) подмножеств. Разрешается, чтобы множество X входило в семейство, а если все подмножества являются копиями множества X , схема PBD называется тривиальной . Размер множества X равен v , а число подмножеств в семействе (одинаковые подмножества подсчитываются отдельно) равно b .

Неравенство Фишера для схем PBD выполняется — для любой нетривиальной PBD-схемы выполняется ${\displaystyle v\leqslant b}$ .

Этот результат обобщает знаменитую теорему де Брёйна — Эрдёша — для любой PBD-схемы с ${\displaystyle \lambda =1}$ , не имеющей блоков размера 1 или v , выполняется ${\displaystyle v\leqslant b}$ , при этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда схема является проективной плоскостью или почти пучком .

Другие комбинаторные схемы

Книга « Handbook of Combinatorial Designs » (справочник по комбинаторным схемам) Колбурна и Диница содержит, среди прочих, 65 глав, посвящённых комбинаторным схемам, отличным от приведённых выше. Частичный список дан ниже.

• Сбалансированные троичные схемы (en: Balanced Ternary Design) ${\displaystyle BTD(V,B;\rho _{1},\rho _{2},R;K,\Lambda )}$ — расстановка V элементов в B мультимножеств (блоков, мощность каждого множества K ( K ≤ V )), удовлетворяющая условиям:

1. Каждый элемент появляется ${\displaystyle R=\rho _{1}+2\rho _{2}}$ раз с кратностью 1 (1 экземпляр в мультимножестве) точно в ${\displaystyle \rho _{1}}$ блоках, а с кратностью 2 — точно в ${\displaystyle \rho _{2}}$ блоках.
2. Каждая пара различных элементов появляется ${\displaystyle \Lambda }$ раз (учитывая кратность). То есть, если m _vb — кратность элемента v в блоке b , то для любой пары различных элементов v и w выполняется ${\displaystyle \sum _{b=1}^{B}m_{vb}m_{wb}=\Lambda }$ .

Например, одна из двух неизоморфных схем BTD(4,8;2,3,8;4,6) (блоками служат столбцы) — это

1	1	1	2	2	3	1	1
1	1	1	2	2	3	2	2
2	3	4	3	4	4	3	3
2	3	4	3	4	4	4	4

Матрица инцидентности BTD схемы (элементами которой служат кратности элементов в блоках) может быть использована для образования троичных исправляющих ошибки кодов аналогично построению двоичных кодов из матриц инцидентности BIBD схем .

• Сбалансированная турнирная схема порядка n (BTD( n )) — это размещение всех различных неупорядоченных пар 2 n -множества V в массиве n × (2 n − 1), такое что

1. каждый элемент множества V появляется ровно один раз в каждом столбце
2. каждый элемент множества V появляется не более двух раз в каждой строке.

Пример схемы BTD(3)

1 6	3 5	2 3	4 5	2 4
2 5	4 6	1 4	1 3	3 6
3 4	1 2	5 6	2 6	1 5

Столбцы схемы BTD( n ) дают 1-факторизацию полного графа с 2 n вершинами, K _2n .

Схемы BTD( n ) могут быть использованы для составления расписания круговых турниров — строки представляют места, столбцы представляют туры (раунды, круги), а элементы таблицы задают игроков или команды.

• Бент-функции
• Массивы Костаса
• Полные факторные эксперименты
• Частотный квадрат ( F -квадрат) является обобщением латинского квадрата . Пусть S = { s ₁ , s ₂ , ..., s _m } — множество различных символов, а ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m})}$ — частотный вектор положительных чисел. Частотный квадрат порядка n ${\displaystyle (n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{m})}$ — это n × n массив, в котором каждый символ s _i встречается ${\displaystyle \lambda _{i}}$ раз ( i = 1,2,...,m) в каждой строке и в каждом столбце. Частотный квадрат имеет стандартный вид , если в первой строке и первом столбце элементы s _i предшествуют s _j при i < j .

Частотный квадрат F ₁ порядка n над множеством { s ₁ , s ₂ , ..., s _m } с частотным вектором ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{m})}$ и частотный квадрат F ₂ также порядка n над множеством ${\displaystyle \{t_{1},t_{2},...,t_{k}\}}$ с частотным вектором ${\displaystyle (\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{k})}$ ортогональны , если любая упорядоченная пара ( s _i , t _j ) появляется ровно ${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j}}$ раз, когда F ₁ и F ₂ налагаются друг на друга.

• Системы троек Холла (en:Hall Triple Systems, HTS) — это системы троек Штейнера (en:Steiner Triple Systems, STS) (в ней блоки называются прямыми ) со свойством, что подструктура, образованная пересечением двух прямых изоморфна конечной аффинной плоскости AG(2,3).

Любое аффинное пространство AG( n ,3) даёт пример схемы HTS, такие схемы называются аффинными HTS. Неаффинные схемы HTS также существуют.

Число точек в схеме HTS равно 3 ^m для некоторого целого ${\displaystyle m\geqslant 2}$ . Неаффинные схемы HTS существуют для любого ${\displaystyle m\geqslant 4}$ и не существуют для ${\displaystyle m=2}$ или 3 .

Любая система троек Штейнера эквивалентна штейнеровской квазигруппе ( идемпотентна , коммутативна и выполняется ${\displaystyle (xy)y=x}$ для всех x и y ). Система троек Холла эквивалентна штейнеровской квазигруппе со свойством дистрибутивности , то есть выполняется ${\displaystyle a(xy)=(ax)(ay)}$ для всех a,x,y в квазигруппе .

• Пусть S — множество из 2 n элементов. Схема Хауэлла , H( s ,2 n ) (на множестве символов S ) — это массив s × s , такой, что:

1. Каждая ячейка массива либо пуста, либо содержит неупорядоченную пару из S ,
2. Каждый символ появляется в точности один раз в каждой строке и каждом столбце массива,
3. Каждая неупорядоченная пара появляется не более чем в одной ячейке массива.

Пример схемы H(4,6)

0 4		1 3	2 5
2 3	1 4	0 5
	3 5	2 4	0 1
1 5	0 2		3 4

H(2 n − 1, 2 n ) — это со стороной 2 n − 1, так что схемы Хауэлла обобщают концепцию квадратов Рума.

Пары символов в ячейках схемы Хауэлла можно рассматривать как рёбра s регулярного графа с 2 n вершинами, который называется основным графом схемы Хауэлла.

Циклические схемы Хауэлла используются как передвижения Хауэлла (схема комплектации участников игр) в турнирах двойного бриджа . Строки схемы представляют туры (круги), столбцы представляют коробки (с подготовленными заранее сдачами, см. «Бридж — подготовка к игре» ), а диагонали представляют столы .

• Линейные пространства
• Схема лото ( n , k , p , t ) — это множество V из n элементов вместе с набором ${\displaystyle \beta }$ k -элементных подмножеств (блоков), таких, что для любого подмножества P , состоящего из p элементов множества V , существует блок B в ${\displaystyle \beta }$ , для которого ${\displaystyle |P\cap B|\geqslant t}$ . L( n , k , p , t ) означает наименьшее число блоков в любой схеме лото ( n , k , p , t ). Схема лото (7,5,4,3) с наименьшим возможным числом блоков :

{1,2,3,4,7}       {1,2,5,6,7}       {3,4,5,6,7}.

Схема лото моделирует любую лотерею , работающую по следующим правилам: Игрок покупает билеты , содержащие k чисел, выбранные из множества, содержащего n чисел. В некоторый момент времени продажа билетов прекращается и выбирается случайный набор из p чисел, содержащихся в исходном множестве из n чисел. Это выигрышные числа . Если проданный билет содержит t или более выигрышных номеров, приз отдаётся владельцу билета. Чем больше совпадений, тем выше выигрыш. Число L( n , k , p , t ) интересно как для игроков, так и для исследователей, так как представляет наименьшее число билетов, которые следует купить, чтобы гарантировать выигрыш.

Венгерская лотерея — это схема лото (90,5,5, t ) и известно, что L(90,5,5,2) = 100. Лотереи с параметрами (49,6,6, t ) популярны во всём мире и известно, что L(49,6,6,2) = 19. В общем случае эти числа трудно вычислить и они остаются неизвестными .

Геометрическое построение одной из таких схем приведено в статье « Трансильванская лотерея ».

• Магические квадраты
• Схема Мендельсона ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {k} ,{\boldsymbol {\lambda }})}$ ( ${\displaystyle MD(\mathbf {v} ,\mathbf {k} ,{\boldsymbol {\lambda }})}$ ) — это множество V из v элементов и набор ${\displaystyle \beta }$ упорядоченных k - кортежей различных элементов множества V (называемых блоками ), таких, что каждая упорядоченная пара ( x , y ) элементов из V ( x ≠ y ) циклически смежна в ${\displaystyle \lambda }$ блоках (упорядоченная пара ( x , y ) различных элементов циклически смежна в блоке, если элементы появляются в блоке рядом — либо (..., x , y ,...), либо ( y ,..., x )). Схема ${\displaystyle MD(\mathbf {v} ,\mathbf {3} ,{\boldsymbol {\lambda }})}$ — это система троек Мендельсона , имеющая обозначение MTS ${\displaystyle (\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\lambda }})}$ . Пример MTS(4,1) над V = {0,1,2,3}:

(0,1,2)     (1,0,3)     (2,1,3)     (0,2,3)

Любая система троек может быть преобразована в систему троек Мендельсона путём замены неупорядоченной тройки { a , b , c } парой упорядоченных троек ( a , b , c ) и ( a , c , b ), но обратное, как показывает пример, неверно.

Пусть ( Q ,∗) — идемпотентная полусимметрическая квазигруппа , то есть в ней выполняется x ∗ x = x (идемпотентность) и x ∗ ( y ∗ x ) = y (полусимметричность) для всех x , y из Q . Пусть ${\displaystyle \beta =\{(x,y,x\ast y)\colon x,y\in Q\}}$ . Тогда ${\displaystyle (Q,\beta )}$ является системой троек Мендельсона MTS(| Q |,1). Это построение обратимо .

• Квази-3 схема — это симметричная схема (SBIBD), в которой каждая тройка блоков пересекается либо в x , либо в y точках для фиксированных чисел x и y , называемых числами пересечений троек ( x < y ). Любая симметричная схема с ${\displaystyle \lambda \leqslant 2}$ является квази-3 схемой с ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle y=1}$ . Схема точка-гиперплоскость геометрии PG ( n , q ) является квази-3 схемой с ${\displaystyle x=(q^{n-2}-1)/(q-1)}$ и ${\displaystyle y=\lambda =(q^{n-1}-1)/(q-1)}$ . Если ${\displaystyle y=\lambda }$ для квази-3 схемы, схема изоморфна PG ( n , q ) или проективной плоскости .
• Схема ${\displaystyle Dt-(v,k,\lambda )}$ является квазисимметричной с числами пересечения x и y ( x < y ), если любые два различных блока имеют в пересечении либо x , либо y точек. Эти схемы возникают естественным образом при изучении двойственных схем с ${\displaystyle \lambda =1}$ . Несимметричная схема ( b > v ) 2-( v , k ,1) является квазисимметричной с x = 0 и y = 1. Кратные (блоки повторяются некоторое определённое число раз) симметричные 2- ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$ схемы квазисимметричны с ${\displaystyle x=\lambda }$ и y = k . Адамаровы 3-схемы (расширение 2-схем Адамара ) квазисимметричны .

Любая квазисимметричная блок-схема порождает сильно регулярный граф (как её блоковый граф ), но не все схемы SRG порождаются таким образом .

Матрица инцидентности квазисимметричной схемы 2- ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$ с k ≡ x ≡ y (mod 2) образует двоичный самоортогональный код .

• — это конечное множество X точек на a ( d − 1)-мерной сфере , такое, что для некоторого целого t , среднее значение на X полинома

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{d})\ }$

со степенью, не превосходящей t , равно среднему значению f на всей сфере (то есть интегралу функции f , делённому на площадь сферы).

• Тосканский r × n k -прямоугольник над n символами имеет r строк и n столбцов, при этом

1. каждая строка является перестановкой n символов
2. для любых двух различных символов a и b и для каждого числа m от 1 до k существует не более одной строки , в которой b находится в m шагах правее a .

Если r = n и k = 1, схемы называются тосканскими квадратами , а в случае r = n и k = n - 1 они называются флорентийскими квадратами . Римский квадрат — это тосканский квадрат, являющийся одновременно латинским квадратом (такие квадраты известны также как полные по строкам латинские квадраты ). Ватиканский квадрат — это флорентийский квадрат, являющийся одновременно латинским квадратом.

Пример тосканского 1-квадрата на 7 символах, не являющегося 2-квадратом :

6	1	5	2	4	3	7
2	6	3	5	4	7	1
5	7	2	3	1	4	6
4	2	5	1	6	7	3
3	6	2	1	7	4	5
1	3	2	7	5	6	4
7	6	5	3	4	1	2

Тосканский квадрат на n символах эквивалентен декомпозиции полных графов с n вершинами на n гамильтоновых ориентированных путей .

• t-кратная сбалансированная схема (или t BD) типа t - ${\displaystyle (v,K,\lambda )}$ — это множество X из v элементов вместе с семейством подмножеств X (называемых блоками ), размеры которых содержатся в наборе K , таком, что любое t -подмножество различных элементов X содержится в точности в ${\displaystyle \lambda }$ блоках. Если K — набор положительных целых чисел строго между t и v , то схема t BD называется собственной . Если все k -подмножества X для некоторого k являются блоками, схема t BD называется тривиальной .

Заметим, что в примере 3-{12,{4,6},1) схемы на множестве X = {1,2,...,12} некоторые пары появляются четыре раза (например, пара {1,2}), в то время, как другие появляются пять раз (например, пара {6,12}) .

1 2 3 4 5 6            1 2 7 8      1 2 9 11      1 2 10 12      3 5 7 8      3 5 9 11      3 5 10 12      4 6 7 8      4 6 9 11      4 6 10 12

7 8 9 10 11 12      2 3 8 9      2 3 10 7      2 3 11 12      4 1 8 9      4 1 10 7      4 1 11 12      5 6 8 9      5 6 10 7      5 6 11 12

3 4 9 10      3 4 11 8      3 4 7 12      5 2 9 10      5 2 11 8      5 2 7 12      1 6 9 10      1 6 11 8      1 6 7 12

4 5 10 11      4 5 7 9      4 5 8 12      1 3 10 11      1 3 7 9      1 3 8 12      2 6 10 11      2 6 7 9      2 6 8 12

5 1 11 7      5 1 8 10      5 1 9 12      2 4 11 7      2 4 8 10      2 4 9 12      3 6 11 7      3 6 8 10      3 6 9 12

• Неполный латинский квадрат — это k × v прямоугольный массив ( k < v ) v символов, таких, что каждый символ появляется в точности один раз в каждой строке и символы, появляющиеся в любом столбце, образуют блоки симметричной схемы ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$ , все блоки которой появляются в точности один раз. Неполный латинский квадрат является латинским прямоугольником. Термин "квадрат" в названии появился из более старого определения, которое использовало квадратный массив . Пример неполного латинского 4 × 7 квадрата:

1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	1
3	4	5	6	7	1	2
5	6	7	1	2	3	4

Семь блоков (столбцов) образует биплоскость порядка 2 (симметричная схема (7,4,2)).

Примечания

Литература