Interested Article - Числа Лаха

Иллюстрация беззнаковых чисел Лаха для n и k между 1 и 4

Числа Лаха , открытые математиком из Словении Иво Лахом в 1955 — это коэффициенты, выражающие возрастающие факториалы через убывающие факториалы .

Беззнаковые числа Лаха имеют интересное значение в комбинаторике — они отражают число способов, каким множество из n элементов может быть разбито на k непустых упорядоченных подмножеств. Числа Лаха связаны с числами Стирлинга .

Беззнаковые числа Лаха (последовательность в OEIS ):

Числа Лаха со знаками (последовательность в OEIS ):

L ( n , 1) всегда равно n !. В вышеупомянутой интерпретации разбиения множества {1, 2, 3} на 1 множество может быть осуществлено 6 способами:

{(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)}, {(3, 2, 1)}

L (3, 2) соответствует 6 разбиениям на два упорядоченных множества:

{(1), (2, 3)}, {(1), (3, 2)}, {(2), (1, 3)}, {(2), (3, 1)}, {(3), (1, 2)} or {(3), (2, 1)}

L ( n , n ) всегда равно 1, поскольку, например, разбиение множества {1, 2, 3} на 3 непустых подмножества приводит к подмножествам длины 1.

{(1), (2), (3)}

При использовании обозначения Карамата — Кнута для чисел Стирлинга было предложено использовать следующее альтернативное обозначение чисел Лаха:

Возрастающие и убывающие факториалы

Пусть обозначает возрастающий факториал , а — убывающий факториал .

Тогда and

Например,

Сравните с третьей строкой таблицы значений.

Тождества и связи

где числа Стирлинга первого рода , а числа Стирлинга второго рода . Если принять, что и при .

Таблица значений

Таблица значений чисел Лаха:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1
2 2 1
3 6 6 1
4 24 36 12 1
5 120 240 120 20 1
6 720 1800 1200 300 30 1
7 5040 15120 12600 4200 630 42 1
8 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1
9 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1
10 3628800 16329600 21772800 12700800 3810240 635040 60480 3240 90 1
11 39916800 199584000 299376000 199584000 69854400 13970880 1663200 11880 4950 110 1
12 479001600 2634508800 4390848000 3293136000 1317254400 307359360 43908480 3920400 217800 7260 132 1


Современное практическое применение

В последние годы числа Лаха используются в стеганография для сокрытия данных в изображениях. По сравнению с такими альтернативами, как DCT , DFT и DWT , они имеют меньшую сложность— —вычисления их целочисленных коэффициентов. Преобразования Лаха и Лагерра естественно возникают при пертурбативном описании . В такой подход значительно ускоряет решение задач оптимизации.


См. также

Примечания

  1. .
  2. Ghosal, Sudipta Kr; Mukhopadhyay, Souradeep; Hossain, Sabbir; Sarkar, Ram (2020). "Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication". Transactions on Emerging Telecommunications Technologies . 32 (2). doi : . S2CID .
  3. . MathWorks . Дата обращения: 4 марта 2023. 4 марта 2023 года.
  4. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2022-10-24). . . 30 (22): 40779—40808. Bibcode : . doi : . PMID .
  5. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2020-08-30). "Theory of the Chromatic Dispersion, Revisited". arXiv : [ ].

Литература

  • John Riordan. . — Princeton University Press, 1958. — ISBN 978-0-691-02365-6 . Статья переиздана в 1980, и ещё один раз в 2002 (Dover Publications)
Источник —

Same as Числа Лаха