Формула Фаа-ди-Бруно
является обобщением формулы
дифференцирования сложной функции
на
производные
более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника
Франческо Фаа-ди-Бруно
, благодаря которому она стала известна (примерно в 1855 году), хотя реально первооткрывателем этой формулы является
, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации
на эту тему.
Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:
-
где сумма по всем
кортежам
длины
n
из неотрицательных целых чисел (
m
1
, …,
m
n
), удовлетворяющих ограничению
-
Иногда, для лучшего запоминания, формула записывается в виде
-
однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации.
Суммируя члены с фиксированным значением
m
1
+
m
2
+ … +
m
n
=
k
и заметив, что
m
j
должен быть равен нулю при
j
>
n
−
k
+ 1, можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через
полиномы Белла
B
n
,
k
(
x
1
, …,
x
n
−
k
+1
):
-
Комбинаторная форма
Формула имеет следующий комбинаторный вид:
-
где
-
π принимает значения из множества Π всех
разбиений множества
{ 1, …,
n
},
-
B
∈ π означает, что переменная
B
пробегает части разбиения π,
-
|
A
| обозначает мощность множества
A
(таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |
B
| — размер блока
B
).
Пример
Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:
-
Все действия выполняются по следующем образцу:
-
Множитель
очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель
показывает, что имеется 3 слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно 6 разбиений множества из 4 элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.
По аналогии, множитель
в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а
указывает на то, что в этом разбиении должно быть 2 слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только
способа разбить 4 элемента на группы размера 2.
Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.
Комбинаторная интерпретация коэффициентов
Коэффициенты формулы Фаа-ди-Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество
разбиений множества
размера
n
, соответствующих
разбиению числа
n
:
-
равно
-
Эти коэффициенты также возникают в
полиномах Белла
, которые имеют отношение к изучению
кумулянтов
.
Примечания
-
Arbogast, L. F. A.
Du calcul des derivations
(неопр.)
. — Strasbourg: Levrault, 1800.
Ссылки