Interested Article - Теорема Пуанкаре о разложении интегралов по малому параметру

Теорема Пуанкаре о разложении интегралов по малому параметру — утверждение о свойствах периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка , содержащих малый параметр. Доказана Пуанкаре в 1888 г. для применения в задачах небесной механики Основывается на двух предположениях: о том, что система, получающаяся из исходной при значении малого параметра, равного нулю, имеет периодические решения с некоторым периодом; и о том, что периодические решения системы получаются путем подбора начальных данных всех входящих в систему неизвестных функций . Применяется в механике, электро- и радиотехнике, автоматике и физике, теории нелинейных колебаний.

Формулировка

Разность между решением возмущенной системы уравнений и решением невозмущенной системы дифференциальных уравнений первого порядка может быть представлена в виде сходящегося степенного ряда от малого параметра, представляющего возмущение.

Доказательство

Доказательство теоремы Пуанкаре занимает 7 страниц в книге .

См. также

Метод Крылова — Боголюбова

Примечания

Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // т. 1, Наука, 1972
Poincare H., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, т. 1, стр. 58
, с. 7.
, с. 140-146.

Литература

Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М. — Л. : ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.
Гуляев В. И. , Баженов В. А. , Попов С. Л. ,. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. — М. : Высшая школа, 1989. — 383 с. — ISBN 5-06-000091-5 .
Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М. : Наука, 1977. — 256 с.
Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М. : Гостехиздат, 1956.
Новожилов И. В. Фракционный анализ. — М. : МГУ, 1995. — 224 с. — ISBN 5-87597-013-8 .