Interested Article - Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Теорема Пуанкаре — Бендиксона — теорема в теории динамических систем , описывающая возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).

Формулировка теоремы

Пусть задано $C^{1}$ -гладкое векторное поле на сфере или на плоскости или в некоторой ограниченной области плоскости (в последнем случае, направленное внутрь на границе области), имеющее лишь конечное число особых точек. Тогда ω- предельное множество любой траектории — это либо ( 1 ) особая точка , либо ( 2 ) периодическая траектория, либо ( 3 ) полицикл (объединение особых точек и соединяющих их отрезков траекторий). Аналогичное утверждение имеет место и для α- предельных множеств .

Пример случая 1.
Пример случая 2.
Пример случая 3.

Замечания

См. также

Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий

Примечания

Литература

Каток А. Б. , . Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — С. 455. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9 .
Ю.С. Ильяшенко . , М.: МЦНМО, 2007.