Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе ) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем ; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа .

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

Пусть на гладком замкнутом многообразии ${\displaystyle M}$ определено гладкое векторное поле ${\displaystyle V}$ , имеющее конечное число изолированных особых точек ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ . Тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}J_{A_{i}}(V)=\chi (M),}$

здесь ${\displaystyle J_{A_{i}}(V)}$ — индекс точки ${\displaystyle A_{i}}$ относительно поля ${\displaystyle V}$ и число ${\displaystyle \chi (M)}$ — эйлерова характеристика многообразия ${\displaystyle M}$ .

История

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году .

Вариации и обобщения

• Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями .

Примечания

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А. , Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• Арнольд В.И. , Обыкновенные дифференциальные уравнения . Любое издание.