В теории динамических систем , теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения ${\displaystyle \rho (f)}$ итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:

1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки . При этом знаменатель числа вращения — это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на ${\displaystyle \rho (f)}$ . Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени ( ${\displaystyle \alpha }$ - и ${\displaystyle \omega }$ -предельные траектории при этом могут быть разными).

2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:

i) либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на ${\displaystyle \rho (f)}$ . В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для );

ii) либо у f есть канторово C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на ${\displaystyle \rho (f)}$ : для некоторого отображения h степени 1,

${\displaystyle h\circ f=R_{\rho (f)}\circ h.}$

При этом множество C в точности является множеством точек роста h — иными словами, с топологической точки зрения, h схлопывает интервалы дополнения до C.

См. также

• Теорема Данжуа
• Пример Данжуа
• Языки Арнольда

Ссылки

• Каток А. Б. , . Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9 .