Механика сплошных сред
Сплошная среда
Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
См. также: Портал:Физика

Уравнения тепловой конвекции ( уравнения Буссине́ска, приближение Буссине́ска ) в приближении Буссинеска — Обербека — наиболее популярная модель для описания конвекции в жидкостях и газах.

Модель включает в себя уравнение Навье — Стокса , уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости . Основная идея приближения состоит в особенности учёта зависимости плотности от температуры . Именно, в системе уравнений конвекции данная зависимость учитывается только при массовых силах :

${\displaystyle \rho _{0}\left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v}}+\rho (T){\vec {g}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — скорость течения, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура, ${\displaystyle p}$ — давление , ${\displaystyle \eta }$ — динамическая вязкость , ${\displaystyle \chi }$ — коэффициент температуропроводности , ${\displaystyle {\vec {g}}}$ — ускорение свободного падения .

Часто для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}(1-\beta \theta )}$ ,

где ${\displaystyle \beta }$ — коэффициент объёмного расширения , ${\displaystyle \theta =T-T_{0}}$ — отклонение температуры от равновесного состояния, ${\displaystyle \rho _{0}}$ — плотность жидкости при некоторой равновесной температуре ${\displaystyle T_{0}}$ . Поскольку ${\displaystyle \beta }$ и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.

Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемое ${\displaystyle \rho _{0}{\vec {g}}}$ . Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta \theta {\vec {g}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \theta =\chi \Delta \theta ,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0,}$

здесь ${\displaystyle \nu }$ — кинематическая вязкость .

Приведённая задача конвекции в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку (иногда встречается под названием «задача Гершуни»).

См. также

• Условие возникновения конвекции

Литература

• Остроумов Г. А. Свободная тепловая конвекция в условиях внутренней задачи. Москва — Ленинград. Гостехиздат.— 1952.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. Т. 6. Гидродинамика.— М.:Наука.— 1988.—736 с.— § 56
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Устойчивость конвективных течений.— М.:Наука.— 1989.
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.— М.:Наука.— 1972.
• Кригель А. М. О применимости приближения свободной конвекции к атмосферной турбулентности // Вестник Ленинградского гос. университета.— Сер.7.—1991.—Вып.2(14).—С.107-110.