Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений , связывающих функции Грина в квантовой теории поля . Предложена Джулианом Швингером в 1951 году.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных :

${\displaystyle \left\{{\frac {{\overrightarrow {\delta }}S(\varphi )}{\delta \varphi (x)}}{\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,}$

где ${\displaystyle S(\varphi )}$ — функционал действия , ${\displaystyle G(A)}$ — производящий функционал полных функций Грина . Аргумент функционала ${\displaystyle A(x)}$ есть классический объект той же природы, что и поле ${\displaystyle \varphi }$ , то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов , ${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}$ — левая вариационная производная , ${\displaystyle \chi =+1}$ в бозонном случае, ${\displaystyle \chi =-1}$ в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без ${\displaystyle H(A)=G_{0}^{-1}G(A)}$ , где ${\displaystyle G_{0}}$ — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку ${\displaystyle G(A)=e^{W(A)}}$ и сократив после выполнения дифференцирования множитель ${\displaystyle e^{W(A)}}$ , получим уравнение Швингера для производящего функционала ${\displaystyle W(A)}$ связных функций Грина ${\displaystyle W_{n}}$ .

Представив ${\displaystyle W(A)}$ в виде ряда

${\displaystyle W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},}$

и сравнивая коэффициенты при всех степенях ${\displaystyle iA}$ , получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина ${\displaystyle W_{n}}$ .

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике

Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов ${\displaystyle A^{\mu }(x)}$ с источником внешнего электромагнитного поля ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ в минимальной форме — ${\displaystyle J_{\mu }A^{\mu }}$ . За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом ${\displaystyle S[J]}$ источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

${\displaystyle {\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }(x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)}},}$

где ${\displaystyle S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.}$ ${\displaystyle \langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle }$ — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия , символ ${\displaystyle T}$ обозначает хронологическое упорядочение операторов, ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}},}$ — вариационная производная .

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

${\displaystyle G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi }}(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,}$

где ${\displaystyle \psi (x)}$ — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение , имеем уравнение типа уравнения Дирака :

${\displaystyle \left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}-e{\mathcal {A^{\mu }}}(x)\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}}\right\}G(x,y\vert J)=\delta ^{4}(x-y),}$

где ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ — матрицы Дирака , ${\displaystyle e,m}$ — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля ${\displaystyle {\mathcal {A^{\mu }}}(x)}$ получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току ${\displaystyle J}$ ):

${\displaystyle \Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x\vert J)],}$

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам ${\displaystyle J_{\mu }(x)}$ определить ${\displaystyle G(x,y\vert J)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {A^{\mu }}}(x)}$ , называются уравнениями Швингера .

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

${\displaystyle G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)}}=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y)}}.}$

Величина ${\displaystyle Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]}$ называется производящим функционалом .

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

${\displaystyle \Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu }}}G^{-1}(x,y\vert J),}$

где ${\displaystyle G^{-1}}$ — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с . Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера .

Литература

• Васильев А. Н. § 7.1.Уравнения Швингера // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике,. — Л. : Издательство Ленинградского университета, 1976. — С. 72-74. — 295 с.
• Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М. : Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7 .