В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности ) описывает изменение функции плотности вероятности .

Определение

Ток вероятности ${\displaystyle {\vec {j}}}$ определяется как

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi )}$

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$

с плотностью вероятности ${\displaystyle \rho }$ , заданной

${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$ .

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}=0}$

где ${\displaystyle V}$ — объём и ${\displaystyle S}$ — граница объёма ${\displaystyle V}$ . Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если ${\displaystyle \Psi }$ — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах ${\displaystyle V}$ , когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема ${\displaystyle V}$ .

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в ${\displaystyle V}$ равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из ${\displaystyle V}$ .

Примеры

Плоская волна

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

${\displaystyle \Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}}$

запишется в виде

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.}$

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\vec {p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}}$ .

Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно

${\displaystyle {\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0}$

везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике

Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной ${\displaystyle L}$ ( ${\displaystyle 0<x<L}$ ), волновые функции запишутся в виде

${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$

и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде

${\displaystyle j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$

поскольку ${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.}$

Вывод уравнения непрерывности

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что ${\displaystyle \Psi }$ - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ , и ${\displaystyle z}$ ). Тогда

${\displaystyle P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV}$

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V . Производная по времени запишется в виде

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV}$

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма ${\displaystyle V}$ не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от ${\displaystyle \Psi }$ :

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi }$

Результат подстановки в предыдущее уравнение для ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ даёт

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV}$ .

Теперь после перехода к дивергенции

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi {\vec {\nabla }}^{2}\Psi ^{*}}$

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)dV}$

Если теперь вспомним выражение для ${\displaystyle P}$ и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть ${\displaystyle {\vec {j}}}$ тогда запишем выражение

${\displaystyle \int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\right)dV=0}$

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов ${\displaystyle V}$ , и интеграл можно опустить:

${\displaystyle {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0.}$