Теорема Сохоцкого — Племеля (польская орфография Sochocki ) — теорема в комплексном анализе , которая помогает в оценке определённых интегралов. Версия для вещественной прямой ( ) часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого , который доказал её в 1868 году, и Йосипа Племеля , который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы

Пусть C гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и φ — аналитическая функция на C . Тогда интеграл типа Коши

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}},}$

определяет две аналитические функции от z , φ _i внутри C и φ _e снаружи. Формулы Сохоцкого — Племеля соотносят граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение по Коши ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ интеграла:

${\displaystyle \phi _{i}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}}+{\frac {1}{2}}\varphi (z),}$

${\displaystyle \phi _{e}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).}$

Последующие обобщения устраняют требования гладкости на кривой C и функции φ .

Версия для вещественной прямой

Особенно важна версия этой теоремы для интегралов на вещественной прямой.

Пусть ƒ — комплекснозначная функция, которая определена и непрерывна на вещественной оси, и пусть a и b — вещественные числа такие, что a < 0 < b . Тогда

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ обозначает главное значение Коши.

Доказательство для вещественной прямой

Простое доказательство состоит в следующем.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

Для первого слагаемого, отметим, что ${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}}$ — это зарождающаяся дельта-функция , и поэтому приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первое слагаемое равно ${\displaystyle \mp i\pi f(0)}$ .

Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$ стремится к 1 для | х | ≫ ε , и стремится к 0 при | х | ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.

Приложения к физике

В квантовой механике и квантовой теории поля , часто приходится оценивать интегралы вида

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt),}$

где Е — это некоторая энергия и t — время. В данной форме выражение не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно изменяют путём добавления отрицательного вещественного коэффициента к t в экспоненте, а затем устремляют этот коэффициент к нулю:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)}$

${\displaystyle =-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,}$

где теорема Сохоцкого используется на последнем шаге.

См. также

• Соотношения Крамерса — Кронига
• Преобразования Гильберта

Литература

• Weinberg, Steven . The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations (англ.) . — Cambridge University Press , 1995. — ISBN 0-521-55001-7 . Chapter 3.1.
• Merzbacher, Eugen. (неопр.) . — Wiley, John & Sons, Inc., 1998. — ISBN 0-471-88702-1 . Appendix A, equation (A.19).
• Henrici, Peter. Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3 (англ.) . — Willey, John & Sons, Inc., 1986.
• Plemelj, Josip. (англ.) . — New York: Interscience Publishers , 1964.
• Gakhov, F. D. (1990), Boundary value problems. Reprint of the 1966 translation , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
• Muskhelishvili, N. I. Singular integral equations, boundary problems of function theory and their application to mathematical physics (англ.) . — Melbourne: Dept. of Supply and Development, Aeronautical Research Laboratories, 1949.
• Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Example 3.3.1 4
• Sokhotskii, Y. W. On definite integrals and functions used in series expansions (англ.) . — St. Petersburg, 1873.