Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий .

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — топологическая группа . Главным расслоением со структурной группой ${\displaystyle G}$ (или ${\displaystyle G}$ -главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение ${\displaystyle \pi :P\to X}$ , снабжённое непрерывным правым действием группы ${\displaystyle P\times G\to P}$ , сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен ${\displaystyle G}$ , а база ${\displaystyle X}$ — множеству орбит ${\displaystyle P/G}$ .

Ассоциированное расслоение

Расслоение ассоциированное с данным ${\displaystyle G}$ -главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой ${\displaystyle F}$ . Точнее, пусть ${\displaystyle \pi :P\to X}$ — главное расслоение, ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Homeo} (F)}$ — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве ${\displaystyle F}$ . Определим правое действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle P\times F}$ :

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.}$

Рассмотрим факторпространство ${\displaystyle A=(P\times F)/G}$ и определим проекцию ${\displaystyle \pi _{A}([p,f])=\pi (p)}$ . Тогда ${\displaystyle \pi _{A}:A\to X}$ — локально тривиальное расслоение со структурной группой ${\displaystyle G}$ , называемое ассоциированным с ${\displaystyle P}$ .

В теории калибровочных полей на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.

Свойства

• Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно ${\displaystyle P\times G}$ ) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение ${\displaystyle \sigma :X\to P}$ .

Примеры

• Расслоение реперов ${\displaystyle FM}$ многообразия ${\displaystyle M}$ , имеющее структурную группу ${\displaystyle \mathrm {GL} (\dim M)}$ .
• Пусть ${\displaystyle G}$ — группа Ли , ${\displaystyle H}$ — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой ${\displaystyle G/H}$ , структурной группой ${\displaystyle H}$ и проекцией ${\displaystyle \pi :G\to G/H}$ .
• Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой ${\displaystyle S^{2}}$ , структурной группой ${\displaystyle \mathrm {U} (1)\simeq S^{1}}$ и тотальным пространством ${\displaystyle S^{3}}$ .
• Регулярное накрытие ${\displaystyle p:C\to X}$ является главным расслоением со структурной группой ${\displaystyle \pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$ , действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие ${\displaystyle X}$ является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ .

Литература

• Bleecker, David. . — Addison-Wesley Publishing, 1981. — ISBN 0-486-44546-1 .
• Jost, Jürgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — (4th ed.). — New York : Springer, 2005. — ISBN 3-540-25907-4 .
• Husemoller, Dale. Fibre Bundles. — Third. — New York : Springer, 1994. — ISBN 978-0-387-94087-8 .
• Sharpe, R. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York : Springer, 1997. — ISBN 0-387-94732-9 .
• Steenrod, Norman. . — Princeton : Princeton University Press, 1951. — ISBN 0-691-00548-6 .