Искривлённое произведение римановых , а также псевдоримановых многообразий — обобщение прямого произведения .

Определение

Пусть ${\displaystyle B=(B,g)}$ и ${\displaystyle F=(F,h)}$ — два псевдоримановых многообразия и ${\displaystyle f\colon B\to \mathbb {R} }$ гладкая положительная функция. Тогда произведение ${\displaystyle B\times F}$ с метрикой ${\displaystyle g\oplus (f^{2}\cdot h)}$ называется искривлённым произведением ${\displaystyle B=(B,g)}$ и ${\displaystyle F=(F,h)}$ по функции ${\displaystyle f}$ . Точнее, касательное пространство ${\displaystyle \mathrm {T} _{(b,x)}(B\times F)}$ можно идентифицировать с произведением касательных пространств ${\displaystyle \mathrm {T} _{b}B\times \mathrm {T} _{x}F}$ и значит на нём можно рассмотреть прямую сумму квадратичных форм ${\displaystyle g\oplus (f^{2}\cdot h)}$ , она и определяется как метрический тензор в точке ${\displaystyle (b,x)}$ .

Искривлённое произведение ${\displaystyle (B\times F,g\oplus (f^{2}\cdot h))}$ обычно обозначается ${\displaystyle F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$ .

Функция ${\displaystyle f}$ также называется функцией искривления . Пространство ${\displaystyle B=(B,g)}$ называется базой, а пространство ${\displaystyle F=(F,h)}$ — слоем искривлённого произведения ${\displaystyle F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$ .

Свойства

• Каждый слой ${\displaystyle b\times F\subset B\times F}$ в ${\displaystyle F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$ изометричен ${\displaystyle f(b)\cdot F=(F,f^{2}(b)\cdot h)}$ .
• Каждый уровень ${\displaystyle B\times x\subset B\times F}$ глобально изометричен базе ${\displaystyle B=(B,g)}$ .
• Расстояния между точками ${\displaystyle (b_{1},x_{1}),(b_{2},x_{2})\in F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$ полностью определяются по базе ${\displaystyle B=(B,g)}$ , двум точкам ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in B}$ , функцией ${\displaystyle f\colon B\to \mathbb {R} }$ и расстоянием между ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ в слое ${\displaystyle F}$ .

Примеры

• Искривлённое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} {\mathrel {{\times }_{\exp }}}\mathbb {R} }$ изометрично плоскости Лобачевского .
• Поверхность вращения всегда изометрична искривлённому произведению ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}{\mathrel {{\times }_{f}}}\mathbb {I} }$ для некоторой функции искривления и вещественного интервала ${\displaystyle \mathbb {I} }$ .
• Многие решения уравнения Эйнштейна , можно представить как искривлённые произведения, например,
  • Метрика Шварцшильда ,
  • Вселенная Фридмана .

Вариации и обобщения

• Искривлённое произведение естественным образом обобщается на произведения метрических пространств с внутренней метрикой .

Примечания

Ссылки