Ряд Дайсона — ряд возмущений в , каждый из членов которого можно изобразить в виде диаграммы Фейнмана . Ряд носит имя Фримена Дайсона и в целом расходится, однако, уже второй член этого ряда в квантовой электродинамике позволяет получить точность до 10 ⁻¹⁰ благодаря малости постоянной тонкой структуры .

Построение ряда Дайсона использует понятие временного упорядочения .

Система

Изучается система, описывается гамильтонианом, который является суммой невозмущенной части и возмущения:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}}$

В представлении взаимодействия оператор эволюции волновой функции ${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})}$ удовлетворяет уравнению Томонаги — Швингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\hat {V}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})}$ ,

где

${\displaystyle {\hat {V}}(t)=e^{i/\hbar {\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i/\hbar {\hat {H}}_{0}t},}$

или интегродифференциальному уравнению

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})dt_{1}}$

Подставляя оператор эволюции из левой части в правую, можно получить бесконечный ряд:

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1})dt_{1}+{\frac {(-i)^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})dt_{1}dt_{2}+\ldots }$

Предложение Дайсона

Дайсон предложил расширить интегрирования в каждом интеграле от ${\displaystyle t_{0}}$ до ${\displaystyle t}$ , но требовать, чтобы операторы всегда были упорядочены во времени, то есть в произведении ${\displaystyle {\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})}$ , всегда было ${\displaystyle t_{1}>t_{2}}$ . Тогда каждый из слагаемых ряда увеличится в ${\displaystyle n!}$ раз.

В результате n-ный член ряда будет выглядеть:

${\displaystyle {\hat {U}}_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!\hbar ^{n}}}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})\cdots {\hat {V}}(t_{n})}}}.}$ ,

где ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — оператор временного упорядочивания.

Как следствие, ряд Дайсона можно записать в компактном виде:

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\hat {U}}_{n}(t,t_{0})={\mathcal {T}}e^{-i/\hbar \int _{t_{0}}^{t}{d\tau {\hat {V}}(\tau )}}.}$

Источники

• А. Г. Ситенко . Лекции по теории рассеяния (рус.) . — Вища школа, 1971. — 260 с.