Теоре́ма Нью́тона о сфери́ческой оболо́чке — два утверждения, связанных с гравитационным притяжением тонкой сферической оболочки с равномерно распределённой массой. Первая часть теоремы состоит в том, что такая сфера не придаёт ускорения телам, находящимся внутри неё. Вторая часть состоит в том, что такая сфера определённой массы притягивает внешние тела так же, как и материальная точка такой же массы, расположенная в центре сферы. Теорему доказал Исаак Ньютон .

Из этой теоремы, в частности, следует, что шары со сферически симметричным распределением массы притягиваются друг к другу так же, как и точечные тела.

Теорема

Теорема Ньютона состоит из двух утверждений, в обоих рассматривается сфера произвольного радиуса ${\displaystyle R}$ , по поверхности которой равномерно распределена масса ${\displaystyle M}$ . Первое утверждение гласит, что внутри сферы гравитационный потенциал везде одинаков — это означает, что ускорение, которое сфера придаёт телам внутри неё, равняется нулю. Вторая часть теоремы состоит в том, что гравитационный потенциал вне сферы, создаваемый ей, совпадает с гравитационным потенциалом, который бы создавала точечная масса ${\displaystyle M}$ , помещённая в центр сферы взамен её. Это равносильно тому, что сфера притягивает внешние тела так же, как и точечная масса ${\displaystyle M}$ , размещённая в центре сферы. Обе части теоремы доказал Исаак Ньютон .

Вывод

Первую часть теоремы можно вывести следующим образом. Нужно рассмотреть точку внутри сферы и малый телесный угол ${\displaystyle d\Omega }$ , направленный в две противоположные стороны. Площади на поверхности сферы, а значит, и заключённые в них массы ${\displaystyle \delta m_{1}}$ и ${\displaystyle \delta m_{2}}$ , которые пересекает такой телесный угол, пропорциональны квадрату расстояний от точки до соответствующих участков ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ . Тогда ${\displaystyle \delta m_{1}/r_{1}^{2}=\delta m_{2}/r_{2}^{2}\,.}$ Следовательно, для каждого малого телесного угла притяжение в противоположных направлениях оказывается одинаковым, а значит, суммарное ускорение внутри сферы также всюду равняется нулю. Поскольку гравитационное ускорение равняется градиенту гравитационного потенциала, то можно равносильно утверждать, что гравитационный потенциал внутри сферы всюду одинаков .

Вторую часть теоремы удобнее выводить, вычисляя гравитационный потенциал ${\displaystyle U}$ в точке ${\displaystyle K}$ вне сферы на расстоянии ${\displaystyle r}$ от её центра. Сначала можно рассмотреть пояс на сфере, который ограничен углами от ${\displaystyle \theta }$ до ${\displaystyle \theta +d\theta }$ между направлениями от центра сферы к точке на ней и направлением на точку ${\displaystyle K}$ . Площадь поверхности такого слоя равняется ${\displaystyle 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta }$ , поверхностную плотность можно обозначить как ${\displaystyle \sigma =M/4\pi R^{2}}$ . Кроме того, его точки находятся на одном расстоянии ${\displaystyle l}$ от ${\displaystyle K}$ , поскольку пояс симметричен относительно оси, соединяющей центр сферы и точку ${\displaystyle K}$ . Тогда потенциал ${\displaystyle dU}$ , который создаётся поясом, можно выразить как :

${\displaystyle dU=-{\frac {G\cdot \sigma \cdot 2\pi R^{2}\sin \theta d\theta }{l}}\,.}$

С учётом известного ${\displaystyle \theta }$ , по теореме косинусов можно выразить ${\displaystyle l}$ :

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos \theta \,.}$

При дифференцировании обеих частей получится :

${\displaystyle {\frac {R\sin \theta d\theta }{l}}={\frac {dl}{r}}\,.}$

Тогда выражение для потенциала можно записать в виде :

${\displaystyle dU=-{\frac {G\cdot \sigma \cdot 2\pi R}{r}}dl\,.}$

Потенциал от всей сферы можно получить как сумму потенциалов для всех поясов. При этом потенциал пропорционален ${\displaystyle dl}$ , а от самой близкой к самой далёкой от ${\displaystyle K}$ точки сферы ${\displaystyle l}$ меняется на ${\displaystyle 2R}$ . Таким образом, при суммировании получается :

${\displaystyle U=-{\frac {G\cdot \sigma \cdot 4\pi R^{2}}{r}}=-{\frac {GM}{r}}\,.}$

Это значение соответствует гравитационному потенциалу точечной массы ${\displaystyle M}$ , расположенной на месте центра сферической оболочки. Таким образом, тонкая сферическая оболочка с равномерным распределением массы притягивает тела так же, как точечная масса .

Следствия

Можно рассмотреть шар, плотность которого зависит только от радиуса. В этом случае можно условно разделить его на множество тонких сферических оболочек с общим центром, каждая из которых удовлетворяет условию теоремы. Таким образом, можно сделать аналогичный вывод: шар со сферически симметричным распределением массы будет притягивать так же, как и точка той же массы, расположенная на месте центра шара . Следовательно, закон всемирного тяготения для реальных сферически симметричных тел, таких как планеты или звёзды , можно использовать так же, как и для точечных масс .

Примечания

Литература

• Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — 2-е, исправленное. — М. : УРСС , 2004. — 544 с. — ISBN 5-354-00866-2 .
• Binney J., Tremaine S. . — Princeton University Press, 2008. — 903 с. — ISBN 978-0-691-13027-9 .