Эр ( фр. Hère или Her ) — старинная французская карточная азартная игра . Играется со стандартной колодой карт . Сыграла большую роль в становлении теории вероятностей и теории игр . Также была известна под названиями «куку» и «малёрё» .

Правила

Эр является типичной азартной игрой в начальном значении этого термина, то есть такой игрой, исход которой зависит преимущественно от случайности, а не от умения игроков .

Правила игры варьировались, но наиболее распространённым вариантом является игра на двух игроков (А и В). В игре использовалась стандартная колода из 52 карт. Старшинство карт распределялось следующим образом: туз , 2, 3, 4… валет , дама , король ; масть роли не играла .

Ход игры можно разделить на 4 этапа:

1. Игрок А берёт карту. Если ему выпадает король, игра на этом заканчивается — игрок А выиграл. В противном случае игра продолжается .
2. Игрок В берёт карту. Он может либо сохранить её, либо поменять на карту игрока А .
3. Игрок А может либо сохранить карту, полученную от игрока В, либо заменить её на карту, находящуюся сверху колоды . По одной из версий, если игрок А вытягивает из колоды короля, он не может его взять и должен сохранить предыдущую карту .
4. Если карта игрока В старше, он выигрывает; в противном случае выигрывает игрок А. Если обе карты обладают одинаковым достоинством, также выигрывает игрок А .

Вместе с тем, исследователь XVIII века Пьер Ремон де Монмор рассматривал в своей книге 1708 года игру, рассчитанную на четырёх игроков — от игры на двоих она отличалась тем, что происходила по кругу, против часовой стрелки .

Изучение

Эр была одной из карточных игр, изучая которые, математики XVIII века положили основу того, что в дальнейшем превратилось в теорию вероятностей и теорию игр .

Общая стратегия игры была понятна давно — для обеспечения максимальной вероятности выигрыша игроки должны сохранять крупные карты и скидывать мелкие. Однако, до какого номинала карты должны сохранять игроки? Впервые вопрос был поставлен Монмором в его вышедшей в 1708 году книге «Опыт исследования азартных игр» ( фр. Essay d'analyse sur les jeux de hazard ) .

Впервые ответ на этот вопрос был направлен Монмору Николаем Бернулли в письме от ноября 1713 года. Бернулли писал, что решение было прислано неким господином Уолгрейвом, личность которого долгое время оставалась неизвестной. Однако современные исследования позволяют предполагать, что речь идёт о (1684—1741) .

Уолгрейв писал, что стратегия одного из игроков может привести его к более вероятному выигрышу, в то время как стратегия второго игрока может помешать ему воспользоваться преимуществами его стратегии. Он писал, что если игрок А сохраняет карты от восьмёрки и выше, это даёт ему вероятность выигрыша равную ⁵ / ₈ , в то время как замена им карт от восьмёрки и ниже даёт ему вероятность выигрыша ³ / ₈ . Для игрока В сохранение карт от семёрки и выше даёт ему вероятность выигрыша ³ / ₈ и замену карт от семёрки и ниже даёт вероятность ⁵ / ₈ . Решение Уолгрейва представляло собой минимакс , но он не распространил свою догадку на изучение иных игр, а также написал, что «по-видимому, использование смешанной стратегии не соответствует правилам» азартных игр. В 1721 году он полностью забросил математику и принялся делать карьеру на дипломатической службе .

В 1713 году Монмор опубликовал свою переписку с Бернулли и письмо Уолгрейва во втором издании своей книги .

Решение

Игра состоит из трёх переменных: случайно выпавших карт, действий игрока А и действий игрока В. Поскольку в колоде 13 карт, для каждого игрока существует 2 ¹³ возможных стратегий игры. Очевидно, что если игрок получает карту равную или выше восьмёрки, то он точно должен её сохранить; равную или меньше шестёрки — заменить. Вопрос встаёт, что делать с семёркой?

Вероятностная матрица

Стратегии игрока А	Стратегии игрока B
	сохранять семёрки и выше	менять семёрки и ниже
сохранять восьмёрки и выше	${\displaystyle {\frac {16182}{33150}}}$	${\displaystyle {\frac {16122}{33150}}}$
менять восьмёрки и ниже	${\displaystyle {\frac {16146}{33150}}}$	${\displaystyle {\frac {16182}{33150}}}$

В соответствии с приведённой выше вероятностной матрицей, оптимальной стратегией для игрока А является смешение двух стратегий в соотношении 3:5. Оптимальной стратегией для игрока В является ( ⁵ / ₈ , ³ / ₈ ). Вероятность выигрыша для игрока А составит 0,487, а для игрока В — 0,513. Иными словами, вероятность выигрыша для игрока А на 0,026 ниже, чем для игрока В. Таком образом, несмотря на то, что позиция сдающего игрока (А) на первый взгляд может показаться предпочтительной, это не соответствует действительности .

В культуре

Франсуа Рабле упоминал игру под названием «кокю» ( фр. cocu ) в своей опубликованной в 1534 году книге « Гаргантюа и Пантагрюэль ». По мнению исследователя творчества Рабле Психари, это является устаревшей формой названия птицы кукушки ( фр. coucou , «куку́»), а также «крик, который издают дети, играя в прятки ». По мнению Псхиари, речь идёт об одной и той же игре, которая во времена Рабле была широко распространена в Франции — в Париже она именовалась «куку», в Лангедоке — «малёрё» ( Мalheureux ) и «эр» во многих других провинциях страны. Проигравший, согласно исследователю, должен был кричать: «Куку!»

Примечания

Литература

• Norman Biggs. Le compte y est ! Une histoire des mathématiques, des mesures et de la monnaie (фр.) / Traduction: Gérard Tronel. — Les Ulis: EDP Sciences, 2017. — ISBN 978-2-7598-1967-6 .
• Mary-Ann Dimand, Robert W. Dimand. (англ.) . — London and New York: Routledge, 2002. — Vol. 1: From the Beginnings to 1945. — P. 121—123. — 200 p. — ISBN 0-415-07257-3 .
• Richard Epstein. (англ.) . — London: Academic Press, 1995. — P. 196—197. — 450 p. — ISBN 978-0-12-240761-1 .
• Pierre Rémond de Montmort. (фр.) . — Paris: Jacques Quillau, 1708. — P. 185—187. — 192 p.