Матрица Тёплица ( диагонально-постоянная матрица ) — матрица , в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$ ,

то есть выполняется соотношение:

${\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}}$ .

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица .

Пример

Матрица 4×5:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix}}}$

Свойства

Две матрицы Тёплица можно сложить за ${\displaystyle O(n)}$ операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за ${\displaystyle O(n^{2})}$ операций.

Тёплицева система линейных уравнений , то есть система вида ${\displaystyle Ax=b}$ , где ${\displaystyle A}$ — тёплицева матрица, может быть решена за время ${\displaystyle O(n^{2})}$ .

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье : оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов , спроецированный на конечномерное пространство , можно представить такой матрицей.

См. также

• Циркулянт
• Ганкелева матрица

Примечания

Литература

• Тыртышников Е. Е. / отв. ред. чл.-корр. АН СССР В. В. Воеводин . — М. : ВИНИТИ , 1989. — 184 с. 26 августа 2017 года.
• Gray R. M. // Foundations and Trends in Communications and Information Theory. — 2006. — Vol. 2, № 3 . — P. 155—239. — doi : .
• Бабенко К. И. // Успехи математических наук . — 1986. — Т. 41 , вып. 1(247) . — С. 171—178 .
• Иохвидов И. С. Ганкелевы и тёплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория. — М. : Наука , 1974.
• Пустыльников Л. Д. // Успехи математических наук . — 1984. — Т. 39 , вып. 4(238) . — С. 53—84 .