В физике , предел Бекенштейна — это верхний предел энтропии S , или количества информации I , которые могут содержаться в заданной ограниченной области пространства, имеющей конечное количество энергии; либо, с другой стороны, максимальное количество информации, необходимое для идеального описания заданной физической системы вплоть до квантового уровня . Это подразумевает, что информация о физической системе, или информация, необходимая для идеального описания системы, должна быть конечной, если система занимает конечное пространство и имеет конечную энергию. С точки зрения информатики это означает, что имеется максимум скорости обработки информации ( предел Бремерманна ) для физической системы, которая имеет конечные размеры и энергию, и что машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически нереализуема.

Бекенштейн показал, что максимум энтропии, связанный с телом, достигается при превращении его в чёрную дыру . Другими словами, при достижении предела Бекенштейна носитель информации совершает гравитационный коллапс, превращаясь в чёрную дыру .

Формулы

Универсальная формулировка ограничения была первоначально открыта Яаковом Бекенштейном как неравенство

${\displaystyle S\leqslant {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}$

где S — энтропия , k — постоянная Больцмана , R — радиус сферы , охватывающей данную систему, Е — суммарная масса-энергия , включая массу покоя, ħ — приведённая постоянная Планка , а c — скорость света . Несмотря на существенную роль гравитации, выражение не содержит гравитационной постоянной G .

В применении к информации, ограничение формулируется в виде

${\displaystyle I\leqslant {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},}$

где I — количество информации, выраженное как число битов , содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Множитель ln 2 происходит от определения количества информации как логарифма по основанию 2 от числа квантовых состояний ( ${\displaystyle I=log_{2}O}$ ) . Используя эквивалентность массы и энергии , информационный предел может быть переформулирован как

${\displaystyle I\leqslant {\frac {2\pi cRm}{\hbar \ln 2}}\approx 2{,}5769082\cdot 10^{43}mR,}$

где m — масса системы в килограммах, а радиус R выражен в метрах.

Происхождение

Бекенштейн вывел предел, исходя из эвристических аргументов, касающихся чёрных дыр . Если существует система, нарушающая предел, то есть имеющая избыток энтропии, тогда, как утверждал Бекенштейн, можно было бы нарушить второй закон термодинамики , опустив систему в чёрную дыру. В 1995 году Тед Джекобсон показал, что уравнения Эйнштейна (уравнения гравитационного поля в общей теории относительности ) могут быть выведены из предположения об истинности предела Бекенштейна и законов термодинамики . Однако, несмотря на ряд предложенных аргументов, которые показывали, что в той или иной форме предел неизбежно должен существовать для взаимной непротиворечивости законов термодинамики и общей теории относительности, точная формулировка предела была предметом дискуссий .

Примеры

Чёрные дыры

Вычисляемая по формуле Бекенштейна и Хокинга энтропия трёхмерных чёрных дыр точно насыщает предел Бекенштейна:

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

${\displaystyle A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$

${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},}$

${\displaystyle S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},}$

где k — постоянная Больцмана , A — двумерная площадь горизонта событий чёрной дыры в единицах планковской длины , ${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}}$ .

Предел тесно связан с термодинамикой чёрных дыр , голографическим принципом и голографическим пределом Буссо в квантовой гравитации и может быть выведен из предполагаемой сильной формы последнего.

Человеческий мозг

В среднем человеческий мозг обладает массой 1,5 кг и объёмом 1,26 л. Если мозг аппроксимировать сферой, её радиус будет 6,7 см.

Предел Бекенштейна для количества информации в таком случае составит около ${\displaystyle 2{,}6\cdot 10^{42}}$ бит , что представляет максимальное количество информации, необходимое для полного воссоздания среднего человеческого мозга вплоть до квантового уровня, а количество ${\displaystyle O=2^{I}}$ квантовых состояний человеческого мозга должно быть примерно ${\displaystyle 10^{7{,}8\cdot 10^{41}}}$ .

См. также

• Принцип Ландауэра
• Колмогоровская сложность
• Термодинамика чёрных дыр
• Больцмановский мозг
• Цифровая физика
• Пределы вычислений
• Предел Чандрасекара

Примечания

Литература

• J. D. Bekenstein, , , Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737—740, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, , Physical Review D , Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333—2346, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, , Physical Review D , Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, , Physical Review D , Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, , Physics Today , Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24-31, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, , Physical Review D , Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, , Physical Review Letters , Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623—626, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, «Specific entropy and the sign of the energy», Physical Review D , Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950—953, doi : , Bibcode : .
• Jacob D. Bekenstein, , Physical Review D , Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669—1679, doi : , Bibcode : . .
• Jacob D. Bekenstein, , Physical Review A , Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, doi : , Bibcode : . .
• Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, «Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields», Physical Review D , Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109—1115, doi : PMID , Bibcode : .
• Jacob D. Bekenstein, «Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?», , Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967—981, doi : , Bibcode : .
• Jacob D. Bekenstein, «Entropy bounds and black hole remnants», Physical Review D , Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912—1921, doi : , Bibcode : . Also at arXiv : , July 25, 1993.
• Oleg B. Zaslavskii, «Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes», Classical and Quantum Gravity , Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, doi : , Bibcode : . See also O. B. Zaslavskii, «Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes'», Classical and Quantum Gravity , Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, doi : , Bibcode : .
• Jacob D. Bekenstein, «Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics», Physical Review D , Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, doi : , Bibcode : . Also at arXiv : , June 16, 1999.

Ссылки

• Jacob D. Bekenstein, от 14 апреля 2021 на Wayback Machine , Scholarpedia , Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, doi : .
• Jacob D. Bekenstein, от 16 октября 2011 на Wayback Machine , Scholarpedia , Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, doi : .
• от 8 октября 2018 на Wayback Machine at , Hebrew University of Jerusalem , which contains a number of articles on the Bekenstein bound.
• от 8 октября 2018 на Wayback Machine ( Еврейский университет в Иерусалиме ), на которой опубликован ряд статей о пределе Бекенштейна.