Числа бет ( ${\displaystyle \beth }$ ) в математике — кардинальные числа , характеризующие мощность бесконечного множества. Последовательность бесконечных кардинальных чисел обычно записывается как ${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$ , где ${\displaystyle \beth }$ названа по второй букве еврейского алфавита ( бет ).

Числа бет являются частью иерархии алефов ( ${\displaystyle \aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots }$ ). Начинаются они одинаково: ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$ а расположение ${\displaystyle \beth _{1}}$ среди алефов зависит от континуум-гипотезы . Если принять континуум-гипотезу, то ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$ (мощность континуума ), верно и обратное. Если принять более мощную обобщённую континуум-гипотезу , то обе иерархии полностью совпадают: ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ для любого индекса ${\displaystyle \alpha .}$ Если же принять, что континуум-гипотеза неверна, то существует много ${\displaystyle \aleph }$ , которые не являются ${\displaystyle \beth }$ .

Определение

Общее определение для конечных индексов:

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}}$

Для бесконечных индексов:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

Примеры.

• бет-ноль ( ${\displaystyle {\displaystyle \beth _{0}}}$ ) — равен ${\displaystyle {\displaystyle \aleph _{0}}}$ .
• бет-один ( ${\displaystyle \beth _{1}}$ ) — множество континуума .
• бет-два ( ${\displaystyle \beth _{2}}$ ) — 2 ^c , например, множество подмножеств действительных чисел.
• бет-омега ( ${\displaystyle \beth _{\omega }}$ ) — наименьший неисчислимый сильный кардинальный предел.

Литература

• Forster T. E. Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press , 1995 — Beth number is defined on page 5.
• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (англ.) . — reprint of 1974. — Dover Publications , 2006. — ISBN 0-486-44979-3 . See pages 6 and 204—205 for beth numbers.
• Roitman, Judith. Introduction to Modern Set Theory (англ.) . — Virginia Commonwealth University , 2011. — ISBN 978-0-9824062-4-3 . See page 109 for beth numbers.

Ссылки

• (неопр.) . .

Примечания